待定系数法求二次函数解析式—知识讲解(提高)

1/5待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）撰稿：张晓新审稿：杜少波【学习目标】1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2.经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】知识点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2yaxbxc(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：2()yaxhk(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：12()()yaxxxx(1x，2x为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2yaxbxc或2()yaxhk，或12()()yaxxxx，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2yaxbxc；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()yaxhk；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为12()()yaxxxx．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1.已知抛物线yaxbxc2经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.2/5图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为yaxbxc2（a0）.由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.cabcabc216402553,,，解之，得abc12322,,抛物线的解析式为yxx123222yxxx1232123225822()()该抛物线的顶点坐标为()32258，.【点评】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x0.2.一条抛物线yxmxn142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式.【答案与解析】抛物线yxmxn142经过点（032,）和(,)432，这条抛物线的对称轴是直线x2.设所求抛物线的解析式为yxh1422().3/5将点(,)032代入，得1402322()h，解得h12.这条抛物线的解析式为yx142122()，即yxx14322.【点评】解析式中的a值已经知道，只需求出mn,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点(,),(,)032432的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点M（xy11,）和N（xy22,）都是抛物线上的点时，若yy12，则对称轴方程为xxx122，这一点很重要也很有用.3.已知抛物线yaxbxc2的顶点坐标为（－1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x1，又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：x113，x213，则两交点的坐标为（4，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：yax()142(a≠0)，把（2，0）代入得a49，所以抛物线的函数关系式为yx49142()；解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)yax（x-2）(a≠0)，把（－1，4）代入得a49，所以抛物线的函数关系式为：4(4)9yx（x-2）；【点评】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID号：356565关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】【变式】已知一抛物线与x轴的交点是)0,2(A，B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.【答案】（1）4222xxy；（2）)29,21(.类型二、用待定系数法解题4.如图所示，已知二次函数212yxbxc的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点．4/5(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．【答案与解析】(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入212yxbxc得220,6,bcc解得4,6.bc∴这个二次函数的解析式为21462yxx．(2)∵该抛物线的对称轴为直线44122x，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC-OA＝4-2＝2．∴1126622ABCSACOB△．【点评】求△ABC的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B两点坐标分别代入解析式求出b，c的值．(2)先求出点C的坐标再求出△ABC的面积．举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID号：356565关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)，，且过点302，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点2()Mmm，都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）23212xxy；（2）证明：若点2()Mmm，在此二次函数的图象上，则221(1)22mm．得2230mm．5/5△=41280，该方程无实根．所以原结论成立．