二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟

毕业论文题目：二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟二〇一一年五月山西大学毕业论文（设计）目录摘要........................................................................................1Abstract................................................................................2第一章引言…………………………………….………….....3第二章伊辛模型…...………………………….………..……42.1伊辛模型的意义…………………………….………42.2伊辛模型的历史与发展…………………….………42.3二维伊辛模型的基本结构……………....….………5第三章蒙特卡罗方法...........................................................63.1蒙特卡罗方法的产生与发展...................................63.2蒙特卡罗方法的基本思想.......................................63.3文中采用蒙特卡罗方法时用到的的基本理论.....7第四章模拟的理论和过程.................................................84.1计算理论.....................................................................84.2模拟过程.....................................................................9第五章数据分析和讨论.....................................................10参考文献................................................................................14附录........................................................................................15致谢........................................................................................19山西大学毕业论文（设计）1二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟摘要：本文主要介绍应用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型进行数值模拟的基本思路和方法，然后具体应用Fortran语言进行数值模拟的过程。文中首先介绍了伊辛模型对解决相变问题的意义及其历史与发展，然后介绍了蒙特卡罗方法的产生与发展及其基本内容和思想，最后具体应用计算机Fortran语言用蒙特卡罗方法对二维伊辛模型的相关物理量进行数值模拟的方法和过程，并对所得数据进行分析和讨论。关键字：二维伊辛模型；蒙特卡罗方法；哈密顿量；磁化强度；Fortran语言山西大学毕业论文（设计）2TheSimulationofMonteCarlofortheTwodimensionalIsingmodelAbstract：ThispaperdescribestheMonteCarlomethodtosimulatetwodimensionalIsingmodelofthebasicideasandmethods,andthenspecificapplicationsFortranlanguagesimulationprocess.ThepaperfirstdescribestheIsingmodeltosolvetheproblemofphasechangethemeaningandhistoryanddevelopment,andthenintroducedtheMonteCarlomethodanditsbasiccontentsanddevelopmentofproductionandideas,andfinallyspecificapplicationsthecomputerlanguageFortranandMonteCarlomethodtosimulatetherelatedphysicalofthetwodimensionalIsingmodelofmethodandprocess,andthedatawereanalyzedanddiscussed.Keywords：theTwoDimensionalIsingmodel;MonteCarloMethod;Hamiltonian;Fortranlanguage山西大学毕业论文（设计）3第一章引言统计物理学中，物质相变方面的研究是一个重要的领域，物质经过相变，要出现新的结构和物性，而得到物质的相变过程是非常重要且意义深远的，伊辛模型就是试图去解决这些问题的一个重要模型。然而，应用蒙特卡罗方法去作用于伊辛模型，又是一个重要的思想，并且确实可以模拟一些过程，得到一些重要结论。本文主要是以蒙特卡罗方法为基础，应用计算机程序来模拟二维伊辛的一些基本物理量，并结合理论，对所得数据进行分析，完成最基础的学习研究。伊辛模型和蒙特卡罗方法都是非常重要而且被广泛使用的，这里，通过对二维伊辛模型的蒙特卡罗数值模拟，可以了解甚至解决热力学统计物理中，相变领域的一些问题，它可以简化这些问题的处理方法，并求出精确地解，从而可以对现在得到广泛关注的三维伊辛模型的精确求解的理论打下基础进而可以对其进行思考，如果有可能，可以更深入理解二维伊辛模型的精确求解，并去了解三维伊辛模型的相关理论。山西大学毕业论文（设计）4第二章伊辛模型伊辛模型是描述物质相变的一种模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。它是一个简单且被广泛使用的物理模型，下面就对从伊辛模型的意义及其历史与发展两方面对其做简要的介绍，并且简单介绍二维伊辛模型的基本结构。2.1伊辛模型的意义“伊辛(Ising)模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模[1],它可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。它不仅可以用来描述晶体的磁性,还可以用来描述非常广泛的现象,如合金中的有序—无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或自旋)最简单的模型。它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。”[2]以上这段文字正是对伊辛模型的意义的最好诠释，而且三维伊辛模型的意义更为重大，它能解决更为广泛的问题，最为重要的应用是它能很好地显示连续相变过程,特别是在相变的临界温度附近的临界现象。对伊辛模型的研究，使其成为成熟的模型，对于许多领域都有重大意义。2.2伊辛模型的历史与发展统计物理学通过对配分函数求导得系统的热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。但是在相变点某些热力学量会发生突变或者出现无穷尖峰，那么从单一的配分函数表达式能否同时描述各种相和相的转变呢？回答这个疑难的一个方法是建立包含系统最本质特征的简化模型，严格导出其在相变点的宏观特性。从20世纪30年代中叶开始，经过半个世纪以来对统计模型的大量研究，已形成统计物理学的一个专门领域，建立了很多模型，伊辛模型就是其中的一个模型。经过数位科学家的研究和探讨，伊辛模型经过几十年的发展，有了很大的突破，现在，一维，二维伊辛模型理论已经比较成熟，科学家已经得他们在一些条件下的精确解，但是二维伊辛模型在其他一些条件下还有得到精确解，比如具有次紧邻相互作用的二维伊辛模型和磁场下的伊辛模型至今没有精确解，而且三维伊辛模型也没有得到精确解，还没有达到成熟的阶段，还处于探索和研究中。以上只是一个简单的介绍，对伊辛模型的详细介绍，可以参考文献[2],这是一篇具有代表性的论文，它对伊辛模型做了完整而详细的介绍，对于了解伊辛模型，很有参考价值。山西大学毕业论文（设计）52.3二维伊辛模型的基本结构“伊辛模型是一个非常简单的模型[1],在一维、二维或三维的每个格点上占据一个自旋。自旋是电子的一个内禀的性质,每个自旋在空间有两个量子化的方向,即其指向可以向上或向下。”[2]如上所说，一个n维的伊辛模型，在每个格点上占据一个自旋，指向向上或向下，并与周围的自旋相互作用，伊辛模型只考虑最近邻自旋的作用，因而每个自旋与周围自旋相互作用的强弱与周围最近邻子自旋数有关，即随着维度的增加,每个自旋的最近邻自旋数增加,与周围自旋的相互作用也在增强[2]。下面简要介绍正方二维伊辛模型的基本结构。如图1，一个正方格子，每个格点代表一个自旋（向上(+1)或向下(-1)），仅与周围上下左右最近邻的四个自旋有相互作用，这就是，一个简单的正方二维伊辛模型。在求解一些物理量或者解决一些问题时，就以这个模型为基础，根据需要确定格子大小，初始自旋指向，然后以仅考虑最近邻相互作用为基础，根据需要，设定条件，处理问题。这就是最基本的思想。图1其中空心圆点代表自旋向上，实心圆点代表自旋向下。山西大学毕业论文（设计）6第三章蒙特卡罗方法Monte-Carlo(蒙特-卡罗,又译蒙特-卡洛)模拟法,是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。下面就蒙特卡罗方法的产生与发展及其基本思想以及文中所涉及到的相关理论。3.1蒙特卡罗方法的产生与发展蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥MonteCarlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（GeorgesLouisLecleredeBuffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡罗方法的起源和最初应用。由于蒙特卡罗方法的计算量很大，使得它起初得不到广泛应用，但随着20世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟庞大且复杂的试验成为可能，从而蒙特卡罗方法被重新提起并得到重视，随着时间的推移，它已成为一种被广泛使用的方法。3.2蒙特卡罗方法的基本思想蒙特卡罗方法的基本思想是当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗方法正是基于此思路进行分析的。蒙特卡罗方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标，于是蒙特卡罗方法为很多以前难以解决和分析的问题提供了一种思想，使他们得到解决和进展，是蒙特卡罗方法称为一种基础而重要的思想。山西大学毕业论文（设计）73.3文中采用蒙特卡罗方法时用到的的基本理论在伊辛模型