向量的数乘运算

2.2.3向量数乘运算及其几何意义复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAabaaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3)()()(记作a已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与一、向量的数乘运算的定义：,aa实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记为1;aa其方向和长度规定如下：（）20,0,000.aaaaaa（）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当或，是无意义的．－，＋但不可以作加减法，即，可以作积，与向量实数aaa注意：二、向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向放大或缩小.aaa把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a得积.(1)3,6(2)8,1421(3),3333(4),42aebeaebeaebeaebe2ba74ba2ba2ba三、实数与向量的积的运算律：aa)()(?6)2(3aaa2)2(3aa6aaaa)(a5a2a3?32)32(aaaa三、实数与向量的积的运算律：?222babaababa2b2baba22baba)(三、实数与向量的积的运算律：向量数乘的运算满足如下运算律：1)();(2)();(3)().aaaaaabab（）（aaaabab特别地:（）（）设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：例1：计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量以及任意实数λ,μ,恒有1212()abab,ab.0)(4)2(2)(3)2();243(3)36221xbaxaxaxcbacba求已知（）（练习：计算：cbacba612961241）原式解：（a13044442332baxaxax）（bax43043bax对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ，使b=λa,那么a与b共线.已知向量a与b共线，a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|b=μab=-μaa与b同向a与b反向若a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ，使b=λa,那么a与b共线.若a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa向量共线的判定定理:向量共线的性质定理：判断下列各小题中的向量a与b是否共线.12121212(1)2,2(2),22(3),2aebeaeebeeaeebee解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，223abOAabOBabOCabABC例如图，已知任意两个非零向量、，试作，，，你能判断、、三点之间的位置关系吗？为什么？3MMDABCDABaADbabMAMBMC例如图，平行四边形两对角线相交于点，且，,你能用、表示、、和吗？ABCDbaM例4：设a，b是两个不共线的向量，求证：A，B，D三点共线.证明：又它们有公共点B∴A,B,D三点共线bababaCDBCBD5382AB5ABBD//，，，382baCDbaBCbaAB小结回顾一、①λ的定义及运算律②向量共线定理(≠0)向量与共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CDaaabba