2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量的数乘运算及其几何意义1.向量加法三角形法则:aAbBCbaaaAbBbOCba特点:首尾相接，首尾连特点:共起点babBaABAabO特点：共起点，连终点，方向指向被减数2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量讲授新课思考题1:已知向量如何作出和a,aaa(a)(a)(a)?aOAaBaCaNMQPaaaOCOAABBCaaa记:aaa3a即:OC3a.同理可得:PN(a)(a)(a)3a思考题2:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?3aaa3a(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即3aaa3a3a3a.(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即3aa3aa3a3a.向量的数乘运算的定义：,aa实数与向量的积是一个确定的向量，记为1;aa其方向和长度规定如下：（）20,0,00.aaaaa（）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当，(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。a)2(3a)2(3aa6=baba22a2b2baba22)(2(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。ab向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例、计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25))(())()(4(2121bcttbcttctbt2122:思考?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa2)b可以是零向量吗?思考:1)a为什么要是非零向量?思考1：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？ABBCl=uuuruuur、、共线ABBCABCl=?uuuruuur思考2：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM=-uuuruuuur对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心ADECB例、如图：已知，，试判断与是否共线．ABAD3BCDE3ACAE例、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN例、如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO例、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用、来表示。,ABaADbabMAMBMCMD、、和ABDCMab例、如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.OAB31，，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBAab练习aaC.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.(2)设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().aaD.a(1)下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MNba4141(3)(4)ABCD练习练习（5）在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ABC)(21)1(ACABADADCABCAB223)2(ＡＢＣＤ一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD小结:设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.12122,3,ABekeCBee12,ee122CDee121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.