圆和相似结合(初三)

圆和相似（初三）一．解答题（共18小题）1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．（Ⅰ）证明：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）求⊙O的半径．初三教研组编写5．（2013•塘沽区二模）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．6．（2012•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．7．（1997•湖南）已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．8．（2005•柳州）已知，如图，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直径AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H．（1）求证：AB=AC；初三教研组编写（2）如果AE=6，EF=2，求AC．9．（2006•黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？10．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．11．（2012•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．12．（2012•陕西）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；初三教研组编写（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．13．（2012•东营）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．14．（2013•黄石）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）求证：OF=CD．15．（2012•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA=3，AE=2，（1）求CD的长；（2）求BF的长．16．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．初三教研组编写（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=，求PC的长．17．（2012•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．18．（2012•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．（2013•天津）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．初三教研组编写圆和相似结合（初三）参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2012•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．1414687专题：压轴题．分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=，即可求得线段AD的长．解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB，…3分∵CD⊥AB，∴CD∥BF；…6分（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，…7分∵⊙O的半径5，∴AB=10，…8分∵∠BAD=∠BCD，…10分∴cos∠BAD=cos∠BCD==，∴AD=cos∠BAD•AB=×10=8，∴AD=8．…12分点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．初三教研组编写2．（2013•河东区一模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥BC，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且∠A+2∠AED=90°．（Ⅰ）证明：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）当BC=1，AE=2，求tan∠OBC的值．考点：切线的判定．1414687专题：计算题．分析：（I）连接OE，CE，OB，求出BC=BE，证出△OEB≌△OCB，推出∠OEB=∠ACB=90°，根据切线的判定推出即可；（II）证△AEO∽△ACB，推出=，求出=，解直角三角形求出即可．解答：（Ⅰ）证明：连接OE，CE，OB，∵DC为圆O的直径，∴∠DEC=90°，即∠CEB+∠AED=90°，∴2∠AED+∠2∠CEB=180°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠A+2∠AED=90°，∴∠ABC=2∠AED，∴∠ABC+2∠CEB=180°，∵∠ABC+∠CEB+∠ECB=180°，∴∠CEB=∠ECB，∴BC=BE，在△OEB和△OCB中，∴△OEB≌△OCB，∴∠OEB=∠ACB=90°，即OE⊥AB，∴AB是⊙O切线．（Ⅱ）解：∵BE=BC=1，AB=2+1=3，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC==2，∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，∴△AEO∽△ACB，初三教研组编写∴=，∴==，∴tan∠OBC===．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．3．（2011•湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．考点：切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．1414687专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．解答：解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，∴BD⊥OD，∴BD是⊙O切线；（2）连接DE，…（7分）∵AE是直径，∴∠ADE=90°，…（8分）又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，…（9分）∴AD：AC=DE：BC又∵D是AC中点，∴AD=AC，初三教研组编写∴DE=BC，∵BC=6，∴DE=3，…（11分）∵AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，∴x=1∴AE=5．点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．4．（2012•丰润区一模）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相互垂直，垂足为点E，过点B作CD的平行线与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）求⊙O的半径．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．1414687分析：（1）由AB⊥CD，BF∥CD，可得AB⊥BF，又由AB是⊙O的直径，即可证得BF为⊙O的切线；（2）首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB是直角，又由AD=3，cos∠BCD=，即可得cos∠BAD==，继而求得答案．解答：（1）证明：∵AB⊥CD，BF∥CD，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF为⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=，∴cos∠BAD==，初三教研组编写∵AD=3，∴AB=4，∴⊙O的半径为2．点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用．5．（2013•塘沽区二模）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．（Ⅰ）求证：△ADC∽△ACB；（Ⅱ）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．1414687分析：（I）连接OC，求出∠ADC=∠ACB，∠DCA=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；（II）根据勾股定理求出AB，求出∠ACG+∠B=180°，求出∠DCA=∠B，求出∠ADC=∠AGB，证△ADC∽△AGB，得出比例式，代入求出即可．解答：（I）证明：连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是⊙O直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，∴∠ADC=∠DCO=∠