常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数expAt，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数CalculationofBasicsolutionMatrixofLinearHomogeneousSystemwithConstantCoefficientsZhijunDong(DepartmentofMathematics,ChaohuCollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differentialequationsapplicationinengineeringtechnologyisveryextensive,whenmanyproblemsareattributabletoitssolvingproblem,basesolutionmatrixexistenceandspecificseekisdifferentthings,generalhomogeneouslineardifferentialequationsisnotthebasesolutionmatrixbyintegralget,butwhencoefficientmatrixisconstantmatrix,canpassoutthebasesolutionmatrixmethod,thenareavailablematrixexponentialt,thegeneralformbasesolutionmatrix,thepaperdiscussesthemostwidelyuseddifferentialequationswithconstantcoefficients,combinedwithdifferentialequations,linearalgebra,discussknowledgeofhomogeneouslineardifferentialequationwithconstantcoefficientsofbasesolutionmatrixseveralgeneralcalculationmethod.Keyword:linearhomogeneoussystemwithconstantcoefficients;matrixofbasicsolutions;matrixexponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组X’＝AX★的基解矩阵的计算问题，这里A是nn常数矩阵.一．矩阵指数expA的定义和性质：1.矩阵范数的定义和性质定义：对于nn矩阵A＝ijan×n和n维向量X＝1,...,TnXX定义A的范数为A＝,1nijija，X=1niix设A，B是n×n矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质：（1）AB≤AB，AX≤AX；（2）AB≤A+B，XY≤X+Y.2.矩阵指数expA的定义和性质：(!)定义：如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数expA为下面的矩阵级数的和：expA=!0kAkk=E+A+22!A+…+!mAm+…（1.0）其中E为n阶单位矩阵，mA是A的m次幂，这里我们规定0A=E，0！=1这个级数对于所有的A都是收敛的.因次expA是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有!kAk≤!kAk，又因对于任一矩阵A，A是一个确定的实数，所以数值级数E+A+22!A+…+!mAm+…是收敛的.进一步指出，级数expAt=!0kkAkkt在t的任何有限区间上是一致收敛的.事实上，对于一切正整数k，当t≤c（c是某一整数）时，有!kkAkt≤!kkAkt≤!kAkkc，而数值级数!0kAckk是收敛的，因而expAt=!0kkAkkt是一致收敛的.（2）矩阵指数expA的性质：①若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则expA（A+B）=expAexpB；②对于任何矩阵A，1expA存在，且1expA=exp（-A）；③如果T是非奇异矩阵，则exp（1TAT）=1T（expA）T.3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题定理1：矩阵（t）=expAt（1.1）是★的基解矩阵，且（0）=E.证明：由定义易知（0）=E，将（1.1）对t求导，得（t）='expAt=A+21!At+322!At+…+1(1)!kkAkt+…=AexpAt=A（t）这就表明，（t）是★的解矩阵，又det（0）=detE=1因此（t）是★的解矩阵.证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解（t）=（expAt）C这里C打、是一个常数向量.例1：如果A是一个对角矩阵A=12naaa（其中未写出的元均为零）试找出x=Ax的基解矩阵.解：由（1.0）可得expAt=E+12naaa1!t+221222!2tnaaa+12!kkktkknaaa+…=12natatateee根据定理1，这就是一个基解矩阵.例2：试求x=2102x的基解矩阵.解：因为A=2102=2002+0100而且后面的两个矩阵是可交换的，得到expA=exp2002texp0100t=2200ttee222!01010000tEt但是20100=0000所以级数只要两项，因此基解矩阵是expAt=2101tte.二．基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如()tteC的解，其中为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到tteCAeC，即有()0EAC（1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有det()0EA（1.3）称式（1.3）为方程组★的特征方程，称为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值的特征向量.于是有如下结论:()tteC为方程组★的充分必要条件是为A的特征值，且C为对应于的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1）设A具有n个线性无关的特征向量12,,nvvv，它们对应的特征向量分别为12,n（不必各不相同）易知矩阵1212()(,,)ntttntevevevtR是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数itiev（1≤i≤n）都是方程组★的一个解，因此()t是方程★的解矩阵.计算12det(0)det(,,)0nvvv于是()t是方程组★的基解矩阵.注2：当A是n个不同的特征值时，就满足上述性质.注3：此处()t不一定是标准基解矩阵expAt，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n个非奇异矩阵C，有expA=()tC令t=0，得C=1(0)即expAt=1()(0)t于是当A是实矩阵时，则expAt为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A是对角矩阵，它有n个特征值(1)iiain对于每个特征值i易知其对应的特征向量为(0,1,0)TiC即有()0iiEAC而这些特征向量12,nCCC线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵121212(),,nnatatatatatnateeteCeCeCe这与例1的计算结论一样.例4：试求方程组xAx，其中3553A的一个基解矩阵.解：A的特征值就是特征方程235det()634053EA的根，解之得1,235i对应与特征值135i的特征向量，计算齐次线性代数方程11255()055uiEAuui因此1ui是对应于1的特征向量，类似的，可以求得对应于2的特征向量1iv其中,0为任意常数，而121,1ivvi是对应于12,的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵123535123535(),ititttititeieteveviee就是方程组的一个基解矩阵.再由注3，实基解矩阵为13535353513123535353511cos5sin5exp()(0)11sin5cos5itititittititititeieieieittAtteiittieeiee（2）设A有k个不同的特征值12,k它们的重数分别为12,,knnn其中12knnnn那么如何计算expAt？回忆高等代数理论，对应于jn重特征值j的如下线性代数方程组()0jnjEAu（1.4）的解全体构成n维欧几里得空间的一个jn维子空间()jUijk并且n维欧几里得空间可表示成12,kUUU的直和，由此对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯一组向量12,kuuu其中(1)jjuUjk使得分解式为12kuuuu（1.5）因此，一方面对于★的初始值0(0)xx，应用式（1.5）知存在jjvU有012kxvvv注意到空间jU的构造，即知jv是式（1.4）的解，即有()0jnjjEAv因而有()0ljjEAv,1jlnjk（1.6）另一方面，jE为对角矩阵，因此由例1知exp()jjjttjteeEte故有()jtjeEtE计算(exp)(exp)jjAtvAtEv(exp)exp()jtjjAteEtv=(exp())jtjjeAEtv=(()jtjeEtAE12122!(1)!()())njjjnttjjjnAEAEv所以方程组★满足初始条件00xx的解()t为012expexpktAtxAtvvv=1!110expiijinkkttjjjijjiAtveAEv（1.7）同时注意到12expexpexp,exp,expnAtAtEAteAteAte其中121,0,0,0,1,00,0,1TTTneee即在上面初始条件中分别令01020,,nxexexe应用式（1.7）求得n个解，然后以这n个解作为列即得expAt.注4：当A只有一个特征值时，即为n重的，因此nvR都有0EAv这表明nEA为零矩阵.则expexpexpexptAtAtEAteEt1!0expinittiieAEtA