“PA+k·PB”型的最值问题---孙洋清【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。【知识储备】线段最值问题常用原理:①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;②两点间线段最短;③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;【模型初探】(一)点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示,已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点,点A在射线BM、BN的同侧,连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定?分析:本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,过点P作PQ⊥BN垂足为Q,则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2),即A、P、Q三点共线时最小(如图1-1-3),本题得解。图1-1-1图1-1-2图1-1-3动态展示:见GIF格式!思考:当k值大于1时,“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢?提取系数k即可哦!!!【数学故事】从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后,便立即启程赶路。由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示),而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…何以归”。这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百年的“胡不归问题”。【模型初探】(二)点P在圆上运动“阿氏圆”问题如图所示2-1-1,⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,已知r=k·OB.连接PA、PB,则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定?图2-1-1图2-1-2图2-1-3分析:本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,(如图2-1-2)在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似,即k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即A、P、C三点共线时最小(如图2-1-3),本题得解。动态展示:见GIF格式!【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。ABOPOABPCOABPC“阿氏圆”一般解题步骤:第一步:连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接OP、OB;第二步:计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;第三步:计算这两条线段长度的比OPkOB;第四步:在OB上取点C,使得OCOPOPOB;第五步:连接AC,与圆O交点即为点P.【模型类比】①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角(k=sin∠CAE)--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题②“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB∽△CAP推出2PAABAC即:半径的平方=原有线段构造线段【典型例题】1.(胡不归问题)如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+12BM的最小值为.分析:如何将12BM转化为其他线段呢?即本题k值为12,必须转化为某一角的正弦值啊,即转化为30°角的正弦值。思考到这里,不难发现,只要作MN垂直于BC,则MN=12BM,即AM+12BM最小转化为AM+MN最小,本题得解。详解:如图,作AN⊥于BC垂足为N,∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°,∴∠DBC=30°,即sin∠DBC=12=MNBM,∴12BM=MN,∴AM+12BM=AM+MN,即AM+12BM的最小值为AN.在RT△ABN中,AN=AB·sin∠ABC=36332.∴AM+12BM的最小值为33.变式思考:(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗?(2)本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗?答案:(1)63(2)63本题也可用“费马点”模型解决哦!!!!----详见:本公众号前文!DABCMMNBADC2.(阿氏圆问题)如图,点A、B在☉O上,且OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在☉O上,则2PCPD的最小值为__________.分析:如何将2PC转化为其他线段呢?不难发现本题出现了中点,即2倍关系就出现了。套用“阿氏圆”模型:构造共边共角相似半径的平方=原有线段构造线段详解:∴连接OP,在射线OA上截取AE=6.即:2OPOCOE∴△OPC∽△OEP∴2PEPC∴2PCPDPEPD,即P、D、E三点共线最小.在RT△OED中,2216144410DEODOE即2PCPD的最小值为410.变式思考:(1)本题如要求“1PCPD2”的最小值你会求吗?(2)本题如要求“3PCPD2”的最小值你会求吗?答案:(1)210(2)310BCOADPEPEBCOAD【变式训练】(胡不归问题)1.如图,等腰△ABC中,AB=AC=3,BC=2,BC边上的高为AO,点D为射线AO上一点,一动点P从点A出发,沿AD-DC运动,动点P在AD上运动速度3个单位每秒,动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒,则当AD=时,运动时间最短为秒.答案:724,4232.如图,在菱形ABCD中,AB=6,且∠ABC=150°,点P是对角线AC上的一个动点,则PA+PB+PD的最小值为.答案:62本题也可用“费马点”模型解决哦!!!【中考真题】(胡不归问题)1.(2016•徐州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(0,-3)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PDPB21的最小值为。2.(2014.成都)如图,已知抛物线83(2)(4)9yxx与x轴从左至右依次交于点A、B,与y轴交于点C,经过点B的直线34333yx与抛物线的另一个交点为D(-5,33)。设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标为时,点M在整个运动过程中用时最少?答案:334,2,23课外提升:2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了“胡不归”问题。要好好专研哦!!!(胡不归问题变式)【变式训练】(阿氏圆问题)1.(1)【问题提出】:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,求AP+12BP的最小值.尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CDCP1CPCB2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴PD1BP2,∴PD=12BP,∴AP+12BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+12BP的最小值为___________.(2).【自主探索】:在“问题提出”的条件不变的情况下,13AP+BP的最小值为___________.(3).【拓展延伸】:已知扇形COD中,∠COD=90º,OC=6,OA=3,OB=5,点P是CD上一点,则2PA+PB的最小值为___________.答案:37,2373,13.2.如图,在直角坐标系中,以原点O为圆心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A,点M坐标为(6,3),点N坐标为(8,0),点P在圆上运动,求1PMPN2的最小值为__________.3.如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为上一动点,求PC+PD的最小值为__________.答案:5,322.【中考真题】(阿氏圆问题)(2017·甘肃兰州)如图,抛物线2yxbxc与直线AB交于4,4A,0,4B两点,直线1:62ACyx交y轴与点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EFx轴交AC于点F,交抛物线于点G.(1)求抛物线2yxbxc的表达式;(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以,,,AEFH为顶点的四边形是矩形?求出此时点,EH的坐标;②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为E⊙上一动点,求12AMCM的最小值.答案:(1)y=﹣x2﹣2x+4;(2)G(﹣2,4);(3)①E(﹣2,0).H(0,﹣1);②552.写在最后:“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题,即“PA+k·PB”(k≠1的常数)型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想,即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度,进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化,“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值>1则要先提取k去构造某角的正弦值等于1k或等于21kk)将k倍线段转化,再利用“垂线段最短”解决问题;“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题,始终抓住点在圆上这个重要信息,构造以半径为公共边的一组相似三角形,k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点,k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用,再“两点之间线段最短”解决问题。更多内容,请微信扫描关注公众号“洋清解题”