04章-导热数值解法基础

第四章导热数值解法基础4-1建立离散方程的方法4-2稳态导热的数值计算4-3非稳态导热的数值计算CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础2/27Introduction⒈导热问题的三种基本解法⑴理论分析法（解析法）⑵实验法⑶数值计算法⒉基本求解过程（1）解析法：在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的条件下进行积分。优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。缺点：不能求解具有复杂的形状或边界条件的问题。（2）数值计算方法：Numericalsolution/数值解:所有节点温度的集合。有限差分法（finite-differencemethod）CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础3/27Introduction有限差分法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。有限差分的数学基础是用差商代替微商（导数）。几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础4/27一、区域和时间的离散化1、数值求解具体步骤：4-1建立离散方程的方法CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础5/27一、区域和时间的离散化2、基本术语：1）子区域：矩形网格2）网格单元节点（nodalpoint/node）：网格线的交点P(i,j)每个节点的温度值代表了它所在网格单元的平均温度。3）空间步长：相邻两节点的距离。4）边界节点：网格线与物体边界的交点。CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础6/27应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替。对节点(i+1,j)写出函数t对(i,j)点的泰勒级数展开式：j,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxtt舍去第三项及以后的各项得：)()(,,1,xOxttxtjijiji一阶导数的向前差分表达式j,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxtt对节点(i-1,j)写出函数t对(i,j)点的泰勒级数展开式：舍去第三项及以后的各项得：)()(,1,,xOxttxtjijiji一阶导数的向后差分表达式二、建立离散方程的方法1、有限差分法（Taylor级数展开）CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础7/27两式相减(取等号右边前三项)：)(2)(2,1,1,xOxttxtjijiji一阶导数的中心差分表达式j,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxttj,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxtt对节点(i+1,j)和节点(i-1,j)写出的函数t对(i,j)点泰勒级数展开式：虽然一阶导数中心差分误差低，但对时间的一阶差分一般不选用中心差分格式，其会引起数值计算结果的不稳定。二、建立离散方程的方法1、有限差分法（Taylor级数展开）CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础8/27两式相加(取等号右边前四项)：二阶导数的中心差分表达式j,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxttj,333j,222j,,,1)(!3Δ)(!2Δ)(Δiiijijixtxxtxxtxtt对节点(i+1,j)和节点(i-1,j)写出的函数t对(i,j)点泰勒级数展开式：)(2)(22,1,,1,22xOxtttxtjijijiji)(2)(221,,1,,22yOytttytjijijiji02221,,1,2,1,,1ytttxtttjijijijijiji1,1,,1,1,41jijijijijittttt两式相加，即可得二维常物性、无内热源稳态导热的离散方程：同理，对y方向展开yx二、建立离散方程的方法1、有限差分法（Taylor级数展开）CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础9/27EVBPTPRPLP控制容积(i,j)的能量守恒方程为：二、建立离散方程的方法2、控制容积法（热平衡法）流入流出微元体的净热流量＋微元体内热源生成热=微元体内能的增量当温度场还没有求出来之前，我们并不知道温度梯度，由于相邻节点之间的间距非常小，可以认为相邻节点间的温度呈线性分布，如图所示。CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础10/27对二维无内热源稳态情况，将四个界面的导热方程（傅里叶定律）带入热平衡式：0,1,,1,,,1,,1yttxyttxxttyxttyjijijijijijijiji整理上式：02221,,1,2,1,,1ytttxtttjijijijijiji1,1,,1,1,41jijijijijitttttyx控制容积法中直接将能量守恒原理及傅里叶定律应用于节点代表的控制容积，该方法物理概念清晰，推导过程简洁。对非均匀网格同样适用，只须将节点间的不同距离反映到离散方程中，即Δx、Δy采用不同数值。二、建立离散方程的方法2、控制容积法（热平衡法）CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础11/274-2稳态导热数值计算一、内节点离散方程的建立1,1,,1,1,41jijijijijittttt采用Taylor级数展开或控制容积法建立：由于物理意义明确，优先采用控制容积法，更适合诸如非常物性或内热源分布不均等级数展开无法解决的问题。二、边界节点离散方程的建立①第一类边界条件下：（边界上各点的温度已知）②第二和第三类边界条件下:(边界上各点温度未知）边界节点温度+内节点方程代数方程组求解内节点方程+边界节点方程（控制容积法）代数方程组求解CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础12/27xyCqwqwABDEFM三类典型边界节点：①平直边界上的节点:图中M点。②外部拐角节点:图中A—E点。③内部拐角节点：图中F点。4-2稳态导热数值计算二、边界节点离散方程的建立CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础13/27①平直边界节点第二类边界条件yx4-2稳态导热数值计算二、边界节点离散方程的建立021211ywqxyjitjitxyjitjityxjitjit,,,,,,)21,1,,12(41,wxqjitjitjitjit当qw=004-1211jitjitjitjit,,,,CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础14/27②外部拐角节点第三类边界条件yx4-2稳态导热数值计算二、边界节点离散方程的建立0121222yjitjitxxjitjityjitftxhjitftyh,,,,,,02,)22()1,,1(ftxhjitxhjitjitCUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础15/27③内部拐角节点第三类边界条件yx4-2稳态导热数值计算二、边界节点离散方程的建立0226-11-211-ftxhjitxhjitjitjitjit,)(),,(),,(0112yjitjitxyjitjitx,,,,xjitjityxjitjityjitftxhjitftyh,,,,,,12122CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础16/27【例4-1】设有一矩形薄板，已知a=2b，在x=0和y=0处是绝热的，在x=a处给出第三类边界条件，即给定h和tf，而边界y=b处给出第一类边界条件，即温度为已知t=c11，c12,…c15。试写出各节点的离散方程。解：采用均匀网格，△x=△y=b/2。给各节点编号t=t1，t2,…t10CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础17/27][]][[ctA离散方程写成矩阵形式：求解矩阵即可得出各个节点的温度值，即可得到温度分布。][][][1cAt节点号节点方程式公式来源1表4-1，3，h=02表4-1，53表4-1，54式（4-7）5表4-1，56式（4-7）7表4-1，58式（4-7）9表4-1，310表4-1，20)2(9107fthbthbtt0)4(2101598fthbthbcttt2+t3-2t1=0t1+c11+2t4-4t2=0t1+t5+2t4-4t3=0t2+t3+t6+c12-4t4=0t3+t7+2t6-4t5=0t4+t5+t8+c13-4t6=0t5+t9+2t8-4t7=0t6+t7+t10+c14-4t8=0CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础18/27导热微分方程被转化成节点上温度的代数方程组。写出所有内节点和边界节点的温度差分方程，其中包括n个未知节点温度，n个代数方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat........................2211222221212112121111Methods①直接解法②迭代解法直接解法：通过有限次运算（矩阵求逆、高斯消元法）获得代数方程精确解;缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题。迭代解法：先对要计算的场作出假设，在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值，称迭代计算已经收敛。常见迭代解法：简单迭代、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等。4-2稳态导热数值计算三、节点离散方程组的求解CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础19/27简单迭代法：先假定一组节点温度的初始值，以t10,t20,…tn0，将这些初始值代入方程组就可以求得一组新的节点温度值t11,t21,…tn1，再次将t11,t21,…tn1代入方程组，又可以得到一组新的节点温度值t12,t22,…tn2，这样迭代反复进行，一直到前后两次迭代各节点温度差值中的最大差值小于预先规定的允许误差ε（收敛）为止。4-2稳态导热数值计算三、节点离散方程组的求解为加速整个迭代计算过程，还可用高斯-赛德尔迭代法，这种改进的方法与简单迭代法不同在于每次迭代时总是使用节点温度的最新值。)(1)(1)(212)(111)1(1......kknnkkkbtatatat(k)n(k)2(k)1....ttt、可以求得节点温度：例如：根据第k次迭代的数值CUMT-SMCE传热学HeatTransfer4导热数值解法基础20/27在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）)()()1(11)1(22)1(11)1()(3)(3)1(232)1(131)1(3)(2)(2)(222)1(1