基本不等式-高考文科数学专题练习

一、填空题1．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．解析：∵0x1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3[x＋1－x2]2＝34，此时x＝1－x，∴x＝12.答案：122．已知x，y为正数，则x2x＋y＋yx＋2y的最大值为________．解析：依题意，得x2x＋y＋yx＋2y＝x2＋4xy＋y22x2＋5xy＋2y2＝x2＋52xy＋y2＋32xy2x2＋5xy＋2y2＝12＋32xy2x2＋5xy＋2y2＝12＋32·12x2＋5xy＋2y2xy＝12＋32·12xy＋2yx＋5≤12＋32×19＝12＋16＝23，当且仅当x＝y时取等号．答案：233．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是________．解析：1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝1时取“＝”．答案：44．不等式4x＋a·2x＋1≥0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：由题可得a≥－12x－2x恒成立，由基本不等式可知－12x－2x≤－2，所以a≥－2.答案：[－2，＋∞)5．当x2－2x8时，函数y＝x2－x－5x＋2的最小值是________．解析：由x2－2x8，得－2x4.设x＋2＝t，则t∈(0,6)．y＝t－22－t－2－5t＝t2－5t＋1t＝t＋1t－5≥2t·1t－5＝－3.当且仅当t＝1时取“＝”．答案：－36．x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，y2xz的最小值是________．解析：由x－2y＋3z＝0，得y＝x＋3z2，将其代入y2xz，得x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．答案：37．设a0，b0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．解析：由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－a＋b2ab，而a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4，因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.答案：－48．已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，ms＋nt＝9，其中m、n是常数，且s＋t的最小值是49，满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为________．解析：因(s＋t)(ms＋nt)＝m＋n＋tms＋snt≥m＋n＋2mn，所以m＋n＋2mn＝4，从而mn＝1，得m＝n＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝09．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解析：设两个正方形边长分别为a，b，则由题意可得a＋b＝1，且13≤a，b≤23，S＝a2＋b2≥2×(a＋b2)2＝12，当且仅当a＝b＝12时取等号．答案：12二、解答题10．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解析：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得x0，y0，3xy＝x＋y＋1，(1)∵x0，y0，∴3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，∴3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0，∴(3xy＋1)(xy－1)≥0，∴xy≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x0，y0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·(x＋y2)2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.11．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin(A＋C)，3)，n＝(cos2B，2cos2B2－1)，且向量m、n共线．(1)求角B的大小；(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．解析：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)(2cos2B2－1)－3cos2B＝0.又∵A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝3cos2B，即sin2B＝3cos2B.∴tan2B＝3，又∵△ABC是锐角三角形，∴0Bπ2，∴0＜2B＜π，∴2B＝π3，故B＝π6.(2)由(1)知：B＝π6，且b＝1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－3ac＝1.∴1＋3ac＝a2＋c2≥2ac，即(2－3)ac≤1，∴ac≤12－3＝2＋3，当且仅当a＝c＝6＋22时，等号成立．∴S△ABC＝12acsinB＝14ac≤2＋34.∴△ABC的面积最大值为2＋34.12．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①保护罩的容积大于0.5立方米，罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体的费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．(1)求博物馆支付的总费用y(单位：千元)与保护罩的容积V(单位：立方米)之间的函数关系式；(2)求博物馆支付的总费用y(单位：千元)的最小值；(3)如果要求保护罩为正四棱柱形状，且保护罩的底面(不计厚度)正方形的边长不得少于1.1米，高规定为2米．当博物馆需支付的总费用不超过8千元时，求保护罩的底面积的最小值(可能用到的数据：8.25≈2.87，结果保留一位小数)．解析：(1)依据题意，当保护罩的容积等于V时，需支付的保险费用为kV(其中k为比例系数，k0)，且当V＝2时，kV＝8，所以k＝16，所以y＝1·(V－0.5)＋16V＝V＋16V－0.5(V0.5)．(2)y＝V＋16V－0.5≥7.5，并且仅当V＝16V，即V＝4时等号成立，所以，博物馆支付的总费用的最小值为7.5千元．(3)设S(单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式：V＋16V－0.5≤8，V＝2S，代入整理得4S2－17S＋16≤0，解得1.41≈8.5－8.254≤S≤8.5＋8.254≈2.84.又底面正方形的面积最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保护罩的底面积的最小值是1.4平方米．