上海锐角三角比讲义

中小学课外辅导专家海伊教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师课题锐角三角比授课时间：2013年10月25日备课时间：2013年10月25日教学目标（1）理解锐角三角比的概念。（2）会求特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比的值。（3）会用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角三角比的值，利用计算器求锐角的大小。（4）会解直角三角形。（5）理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念，并能解决有关的实际问题。重点、难点重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关几何计算。难点是解直角三角形的应用。授课方法联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高教学过程一、情景设置（知识导入）二、探索研究【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A为一锐角，则∠A的正弦=AasinA=c∠的对边，即斜边锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用中小学课外辅导专家∠A的余弦=AbcosA=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=AatanA=Ab∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=Aa=Ab∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。若A为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA1,0cosA1,tanA0,cotA0。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanAcotA=1tanA=cotA或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2）同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系：1tanA=cotA平方关系：22sinA+cosA=1积商关系：sincostanA=,cotcossinAAAAA余角和余函数的关系：如果090AB，那么sinA=cosB,tanA=cotB（正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。注意：求锐角三角比的值问题中小学课外辅导专家（1）在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。（2）给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。（3）当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。3、解直角三角形（1）在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。（2）解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090AB，三边关系：勾股定理：222abc边角关系：sinA=,cos,tan,cotsinB=,cos,tan,cotababAAAccbababaBBBccab直角三角形的面积：111sin222SchababC（3）当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。（4）解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。（5）解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；已知两边解直角三角形．注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。4、解直角三角形的应用（1）仰角和俯角视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（2）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫中小学课外辅导专家做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m的形式，坡角的正切是坡面的坡度。（3）方向角一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。三、课堂练习例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是A、2sin3BB、2cos3BC、2tan3BD、2cot3B【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断23是∠B的正切值。【答案】选C。【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少中小学课外辅导专家错误的发生。例2某山路坡面坡度1:399i,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米．【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。【思路点拨】坡度1:399i即坡角的正切值为1399，所以坡角的正弦值可求得等于120，所以沿着山路前进200米，则升高200×120=10（米）。【答案】填10。【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度1:399i表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=1399，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=35．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．【考点要求】本题考查锐三角比概念的相关知识及其简单运用。【思路点拨】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝35＝CDAD，设CD＝3k，∴AD＝5k又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2．∴CD＝3k＝6（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝22ADCD＝4k＝8∴AB＝2222810241ACBC∴sinB=844141241ACAB【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=44141。【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．图8-3-1中小学课外辅导专家例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：53sin≈0.8,53cos≈0.6)【考点要求】本题考查利用锐角三角比概念和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在RtABC中，∵3AB，53CAB，∴AC=53cos3≈6.03=1.8（m）．∴CD≈7.18.15.03（m）．∴CDBE≈7.1（m）．【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为7.1m．【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD的长。解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。●考点突破方法总结锐角三角函数与解直角三角形在近年的中考中，难度比以前有所降低，与课改相一致的是提高了应用的要求，强调利用解直角三角形知识解决生活实际中的有关测量、航海、定位等方面的运用。因此，在本专题中，有以下几点应加以注意。1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利0.5m533m图8-3-2中小学课外辅导专家第1题图用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。四、课后作业一、填空题1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．(不取近似值.以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°=624)2．用计算器计算：．（精确到0.01）3．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西度．4．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为（结果保留根号）．5．求值：sin260°+cos260°=．6．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tanB．7．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）第4题图xOAyB北甲北乙第3题图CD43°中小学课外辅导专家8．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为α，高度BC为米（结果用含α的三角比表示）．二、选择题9．在△ABC中，∠C＝900，AC＝BC＝1，则tanA的值是（）A．2B．22C．1D．2110．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是32，则ABAC的值是（）A．52B．53C．25D．3211．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B，那么BB（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．不能确定12．如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若cot∠BCD＝3，则tanA＝（）A．23B．1C．31D．32三、解答题13．已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝352，AC与ACB第6题图BA第10题图第3题图OBA第11题图第4题图CDBA第12题图中小学课外辅导专家BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长．14．如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高．15．如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：1918.140,8391.040,7660.040cos,6428.040sinctgtg】例3图GFEODCBA第13题图中小学课外辅导专家●章节检测答案一、填空题1．62（点拨：连结PP＇，过点B作BD⊥PP＇，因为∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，利用sin15°=624，先求出PD，乘以2即得PP＇）2．2.353．48（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断）4．(0，4433)（点拨：过点B作BC⊥AO，利用勾股定理或