复数的三角形式及运算

任务目标知道复数的模和幅角的定义会求复数的模和幅角主值能求出复数的三角形式会进行复数三角形式的乘除运算学习内容复数的模的定义复数的幅角的定义复数的模和幅角主值的求解复数的三角形式及其求解复数三角形式的乘法复数三角形式的除法复数的模由于不等于0的复数可以用向量表示（如图）把向量的长度叫做复数的模数，简称模（或绝对值），记作或biazOMOMrZbia由直角三角形的知识可得：22barbiaZrZZbabiaZ222222))((ZZbabiabiaZZ且有例求下列复数的模（或绝对值）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）i310i22i31i578i3i33i6把从轴的正半轴到向量的角叫做复数的幅角（如图）oxOMbiaZ复数的幅角（1）不等于0的复数的幅角有无数多个，这些值相差的整数倍。（2）规定，满足条件的幅角叫做幅角的主值。通常记为，即。ZargZarg（3）对于复数0，它所对应的向量缩成一个点（零向量），这样的向量没有确定的方向，所以复数0没有确定的幅角。说明：2坐标轴上的复数的幅角主值设是一个正实数，那么有：a1、复数是正实数，它对应的点在实轴的正半轴上，所以2、复数是负实数，它对应的点在实轴的负半轴上，所以3、复数是纯虚数，它对应的点在虚轴的正半轴上，所以4、复数是纯虚数，它对应的点在虚轴的负半轴上，所以aaiaia0arg）（a)arg(a2)arg(ai2)arg(ai例求下列复数的幅角主值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）i310i22i31i578i3i33i6作业:求下列复数的模和幅角主值：（1）（2）（3）（4）i25i33i113)6(i5)5(复数的三角形式由右图可以看出，对于复数有biaZsincosrbra所以)sin(cossincosirirrbia其中，r为复数的模，为复数的幅角。定义：把叫做复数的三角形式)sin(cosir为了同三角形式相区别，把叫做复数的代数形式bia说明1、在电工学中，可以将复数的三角形式写成：∠，即∠rr)sin(cosir2、在复数的三角形式中，幅角的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加或（为整数）。但为了简单起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将写成主值。k2360kk例将下列复数转化为三角形式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）i510i22i31i5208i3i33i6例将下列复数的三角形式转化为代数形式（1）（2）（3）∠（4）∠（5）（6）∠)57sin57(cos14i5868830)65sin65(cos4i1536)3sin3(cos10i作业：25)4(6)3(22)2(3)1(14321zziziz形式、将下列复数化为三角)72sin72(cos5)4()]2sin()2[cos(3)3(23)2()6sin6(cos3)1(24321izizziz形式、将下列复数化为代数复数三角形式的乘法设的三角形式分别是：21Z、Z)sin(cos1111irZ)sin(cos2222irZ)sin(cos)sin(cos22211121irirZZ于是)]sin()[cos(212121irr即是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加复数的三角形式乘法法则有如下推论（1）有限个复数相乘，结论亦成立。即)sin(cos)sin(cos)sin(cos22211121nnnniririrZZZ)]sin()[cos(212121nnnirrr（2）当时，即，有ZZZZn21nnrrrr2121,)sin(cos)]sin(cos[ninrirZnnn这就是复数三角形式的乘方法则，即：n模数乘方，幅角倍在复数三角形式的乘方法则中，当时，则有1rnininsincos)]sin[(cos这个公式叫做棣美弗公式。例计算下列各式：（1）（2）（3）（4）)65sin65(cos3)12sin12(cos2ii4)]3sin3(cos2[i5)36sin36(cosi)43sin43(cos7)6sin6(cos3ii巩固练习：)6sin6(cos2)4sin4(cos8)1(ii)65sin65(cos4)34sin34(cos2)2(ii)108sin108(cos5)54sin54(cos2)18sin18(cos3)3(iii6)]6sin6(cos3[)4(i5)]36sin36(cos2[)5(i复数三角形式的除法设有复数，，且设，那么)sin(cos1111irZ)sin(cos2222irZ02Z)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos21212122211121irririrZZ这就是复数三角形式的除法法则，即：模数相除，幅角相减例计算下列各式)65sin65(cos2)34sin34(cos6)1(ii12)]6sin6(cos2[)3(i)]90sin()90[cos(31)270sin270(cos3)2(ii巩固练习：（1）（2）（3）（4）)32sin32(cos6)47sin47(cos12ii)6sin6(cos2)32sin32(cos8ii4)]50sin50(cos2[i8)]4sin()4[cos(i课堂小结1、复数的模22babiar2、复数的幅角及幅角主值3、复数的三角形式)sin(cosir4、复数三角形式与代数形式的互化Zarg5、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加6、复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角倍7、复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减n作业：)6sin6(cos6)3sin3(cos21)1(ii)32sin32(cos2)sin(cos8)2(ii3)]60sin60(cos2[)3(i16)]8sin()8[cos()4(i