立体几何大题练习题集答案解析

立体几何大题专练1、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；(1)求证：MN//平面PAD(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD2（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，,EF分别为,ACBC的中点．（1）求证：//EF平面PAB；PACEF（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，90ABC，求证：平面PEF平面PBC．（1）证明：连结EF,E、F分别为AC、BC的中点，//EFAB.……………………2分又EF平面PAB，AB平面PAB，EF∥平面PAB.……………………5分（2）PAPC，E为AC的中点，PEAC……………………6分又平面PAC平面ABCPE面ABC……………………8分PEBC……………………9分又因为F为BC的中点，//EFAB090,BCEFABC……………………10分EFPEEBC面PEF……………………11分又BC面PBC面PBC面PEF……………………12分3.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。（1）求证：BC1//平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：EF⊥CD；(3)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．5．（本小题满分12分）如图，PCABNMABCDPA、分别是、所在的平面，矩形的中点．（1）求证：PADMN平面//；（2）求证：CDMN；6.如图，正方形ABCD所在的平面与三角形ＡDＥ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD设线段BC、AE的中点分别为F、M，求证：（1）FM∥ECD平面；（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．NMPDCBA（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，FN∥CD∴平面FMN∥平面ECD.∵MF在平面FMN内,∴FM∥平面ECD......5分（2）连接EN,∵AE=ED，N为AD的中点，∴EN⊥AD.又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=12a,NP=24a.∴tan∠EPN=2.......10分7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r则有662xr,即32xr.∴2324)32(22xxxxrxS圆柱侧.......5分（2）由（1）知当3)32(24x时，这个二次函数有最大值为6所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为26cm......10分8．（10分）如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若4PC，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC体积.解：（1）因为PAB是等边三角形，90PACPBC,所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD,则PDAB,CDAB,所以AB平面PDC,所以ABPC......5分（2）作BEPC，垂足为E，连结AE．因为RtPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE．由已知，平面PAC平面PBC，故90AEB．因为RtAEBRtPEB，所以,,AEBPEBCEB都是等腰直角三角形。由已知4PC，得2AEBE，AEB的面积2S．因为PC平面AEB，所以三角锥PABC的体积1833VSPC......10分9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解析：(1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，DO＝52.从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.10（本小题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABCABC中，3AC，5AB，4BC，14AA，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：1ACBC；（II）求证：1//AC平面1CDB；（III）求三棱锥11ABCD的体积．证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵3AC，5AB，4BC，∴△ABC为直角三角形，∴ACBC，……………1分又∵1CC平面ABC，∴1CCAC，1CCBCC，……………2分∴AC平面1BCC，∴1ACBC．……………4分（II）设1BC与1BC交于点E，则E为1BC的中点，连结DE，……………5分则在△1ABC中，1//DEAC，又1DECDB面，……………7分∴1//AC平面1BCD．……………8分（III）在△ABC中，过C作CFAB，F为垂足，∵平面11ABBA平面ABC，∴CF平面11ABBA，而341255ACBCCFAB，……………9分∵1111ABCDCADBVV，……………10分而1111111541022DABSABAA，……………11分∴1111210835ABCDV．……………12分11.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD；（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD.12.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面,,ABCDPDCDE是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（I）求证：//PA平面EDB；（II）求证：PB平面EFD；（III）求二面角PBCD的大小。MCDBAP13．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2的正方形，5PDPCPBPA（1）求二面角CABP的度数（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值14．（本小题满分12分）若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；（1）证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD（2）证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD;∴CO⊥面PBD。15．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，底面ABC为等腰直角三角形，且90ACB，侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO平面ABC。（1）求异直线AC和BE所成角的大小；（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。