函数的概念及基本性质

例题库第1.1节函数的概念及基本性质一、函数的基本概念二、反函数三、函数的基本性质例题库第1章函数与模型例题库一、函数的基本概念1、定义设为两个变量，为非空实数集，若对任意的，变量均按照一定的法则有惟一的值与之对应，则称是的函数（function)，记作.其中称为自变量(independentvariable)，的取值范围称为函数的定义域(domain)，常记为；称为因变量(dependentvariable)，与之对应的值称为函数值，函数值的集合称为函数的值域(range)，常记为.DxDxyyx,yyx)(xfyfDxxf)(fDfZxx注：（1）函数两要素：定义域、对应法则；（2）函数表示法：表格法、图形法、公式法；（3）单值函数，多值函数。例题库例题库例1求函数的定义域.245sin)3lg()(xxxxxf解要使有意义，显然要满足：)(xf0450sin032xxxx)(513为整数即kxkxx所以定义域为：)3,0()0,1[0,31xxxDf注：（4）函数定义域的确定：（i）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合.（ii）有实际意义的函数，根据实际意义确定.例题库例题库例2判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示.||xy（1）与（2）与2xy2lgxyxylg2解（1）相同.它们的对应法则与定义域均相同.（2）不相同.它们的定义域不同.第一个函数的定义域为,而第二个函数的定义域为.0x0x-2-112x12y-2-112x12y-2-112x-2-11y-2-112x-2-11y例题库例题库例3符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyo图形如上图。值域其定义域},1,0,1{),,(fRD例4取整函数y=[x],x为任意实数,[x]表示不超过x的最大整数.12345---4-3-2-1--xyo称其为阶梯曲线。图形如右图，值域其定义域例如,),,(,1]3[,0]53[ZRDf注（5）分段函数例题库例5设函数满足方程，求解先将换为再求出的表达式.因为（1）（2）联立（1）（2）解出)(xfxxfxf1)1()(2)(xfxxfxf1)1()(2x1xxxfxf)()1(2xxxf32)(2例题库定义设有函数，如果能从中解出，则称为的反函数，记作)(xfy)(xfy)(xfy)(1yfx注：（1）反；的定义域与值域正好相和)()(1yfxxfy（2）函数的图形关于直线y=x对称)()(1xfyxfy与其反函数二、反函数)(1yfx)(1xfy例题库)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy例题库例6设函数0,0,1)(2xxxxxfy（1）求的表达式、定义域、值域；（2）画出与的图形.)(1xfy)(xfy)(1xfy解：;0;110)1(2yxxyxyxxyx得时，由当得时，由当0,1,1)(1xxxxxf故).,(),,1(]0,(值域为定义域为（2）图形为：例题库-2-112x-3-2-1123y例题库三、函数的基本性质1、函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI)()(21xfxf恒有则称函数）或,)()((21xfxf.)(减少）的上是单调增加（或单调在区间Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI例题库2、函数的奇偶性:有如果对于关于原点对称的定义域设函数,,)(DxDxf,))()()()(xfxfxfxf（或。为偶函数（或奇函数）则称)(xf偶函数yx)(xfyox-x奇函数yxox-x)(xfyA*A例题库)(xf),0()(xf)0,(例7已知是偶函数，且在内单调递减，在内是单调增函数还是单调减函数，试判断并证明你的判断.解因为是偶函数，所以)(xf)()(xfxf),0(内单调递减，)(xf在,,02121时当及）上任意两点，在（xxxx),()(21xfxf）内是单增的，在（即，因此，且时当及）上任意两点，在（0)()()()()(0,,,,0212121212121xfxfxfxfxfxxxxxxxx例题库3、函数的周期性（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数,l如果存在一个正数)()(xflxf且为周则称)(xf.)(,DlxDx有使得对于.)(,的周期称为期函数xfl.恒成立2l2l23l23l例题库设函数f(x)在区间上I有定义，如果存在常数M，使得对任意的xI，恒有4.函数的有界性MxyoM（1）|f(x)|M（此时M0），则称函数f(x)在I上有界;否则称函数f(x)在I上无界.（2）f(x)M，则称函数f(x)在I上有上界;（3）f(x)M，则称函数f(x)在I上有下界.例题库11xy)2,1()3,2(),3(例8从函数的图像中判断其在区间，，内是否有界.xyo1231解在区间)2,1()3,2(),3(，在有界.内无界，