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【第六单元正比例和反比例】本单元在比和比例，以及常见数量关系的基础上编排。通过两个数量保持商一定或者积一定的变化，教学正比例和反比例关系。让学生在建立正比例和反比例概念的同时，受到函数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打基础。正比例和反比例历来是小学数学的重要内容之一。与过去教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像以及简单应用，淡化脱离现实背景的判断，加强正、反比例知识与现实生活的联系，不要求应用正比例、反比例解决实际问题。全单元编排三道例题，具体安排见下表：例1正比例的意义例2正比例关系的图像及应用例3反比例的意义（一）抽象常见事例中的数量变化规律，形成正比例概念当两个互相有关的变量x和y在变化过程中保持其比值不变时，称x与y成正比例关系。就学生而言，日常生活中接触具有正比例关系事例的机会是比较多的，有学习正比例知识的现实背景。如速度保持不变的物体，运动的时间与路程；单价不变的物品，购买的数量与总价；每小时工作量不变，工作的时间与工作的总量……但是，正比例是相当抽象的数学概念，理解正比例关系的内涵，用符号概括表示正比例的本质特征，都有一些难度。随着正比例概念的逐步形成，数学思维能够得到很好的发展，把握具体事例中的数学内容，概括数学规律的能力会有提高。正比例关系是较简单的函数关系，学习正比例的概念，能受到函数思想的熏陶，对以后的中学数学学习很有好处。例1让学生初步感知“两种相关联的量”以及成“正比例关系的量”的含义。后者是例题的内容重点，因为成正比例关系的两个量必定是相关联的。认识正比例关系之前，应该先认识相关联的数量。教材选择汽车在公路上行驶的事例，用表格呈现一辆汽车行驶时间和路程的数据，要求写出几组相对应的路程和时间的比，发现各个比的比值都是80，理解这个80是这辆汽车每小时行驶的千米数，由此得出描述这辆汽车行驶过程的数量关系：路程数量＝速度（一定）。在这个数量关系式中，路程比时间等于速度是旧知识，速度“一定”是这个情境的特点，是正比例概念的生长点。这一段教材组织学生感知正比例现象，教学不宜过快。在观察汽车行驶的时间与路程的表格时，要看到行驶的时间越多，路程越长，不仅为体会“相关联的量”作准备，还有利于感受汽车行驶速度保持不变。要说说表格里的数据，从1小时行驶80千米、2小时行驶160千米、3小时行驶240千米……理解路程和时间的“相对应”。还要说说表格里两个省略号的意思，想象汽车继续行驶，体会速度始终是每小时80千米不变。教材指出路程和时间是两种相关联的量，用“时间变化，路程也随着变化”具体解释两种量“相关联”的含义。认识“相关联的量”是建立正比例或反比例概念的前提，两种量成正比例或反比例关系，它们必定按某种确定的关系相随着变化。学生只要知道一种量变化，会引起另一种量的变化，就初步体会了两种量“相关联”的意思。教材接着指出“当路程和对应时间的比的比值总是一定时，行驶的路程和时间是成正比例的量，它们之间的关系是正比例关系”。这是对正比例意义的初步描述，学生在这些描述中首次感知正比例关系。要让他们注意其中的两点：一是理解“比的比值总是一定”的意思，并适应这样的表述。这里可以用“也就是速度一定”具体解释比的比值总是一定。“比的比值总是一定”是正比例关系的固有属性，能够描述所有正比例关系的本质特征，学生应该学会这样的表述。二是理解正比例关系是两个量之间的关系，成正比例的量一定是指两个数量。“试一试”在另一组数量中继续感知正比例关系。教材用表格给出购买同一种铅笔的数量与总价，让学生根据买1支0.4元、买2支0.8元、买3支1.2元，填出买4支、5支、6支的总价，初步感受铅笔的单价每支0.4元不变，数量在变化，总价也在变化。然后通过四个连续的问题，深入研究这里的数量与总价的关系。第（1）问是说说总价随着哪个量的变化而变化，寻找两种相关联的量，确认总价和数量这两种量相关联。第（2）问是写出几组相对应的总价和数量的比，并比较各个比的比值，发现它们的比值都相等。第（3）问要解释比值的意思，理解它就是铅笔的单价，体会比值相等，同时用式子“总价/数量＝单价（一定）”表示总价和数量之间的变化关系。学生写出数量关系式不会有多大的困难，而单价“一定”往往会忘了标注，要提醒他们写出单价一定。第（4）问是作出铅笔的总价和数量成正比例的判断，学生已经写出了总价和数量的关系式，看到了总价和数量的比的比值保持不变，作出总价和数量成正比例的判断会水到渠成。教材编排这个“试一试”的意图主要有两点：一是丰富对正比例关系的感性认识。学生在例1里感知了路程和时间成正比例，现在又感知了总价和数量成正比例，能体会日常生活中经常有成正比例关系的量。正比例关系的共同特点是对应数量的比的比值一定，这就为抽象出正比例概念积累了资源。二是再次经历发现两种量成正比例关系的过程，如果再遇到两种相关联的量，就能像这样写出一些相对应数量的比，从比的比值是不是保持一定，判断两种量是不是成正比例的量。学生在例1和“试一试”中，两次从感知了正比例的具体含义，只要概括出两个实例的数量关系的共同本质特征，就能形成正比例的概念。教材紧接着“试一试”，用字母x和y分别表示两个相关联的量，用k表示它们的比值，用式子“x/y＝k（一定）”表示它们的关系，抽象概括了正比例的意义。这是一段数学化程度很高的思维活动，用符号揭示正比例关系的特征，不仅有利于学生深刻认识正比例的意义，也是发展数学思考的极好机会。用字母组成的式子表示正比例关系是教学的一个难点。要把抽象的字母与具体的数量联系起来，使学生感到字母代表了许多具体的数量，如字母x代表路程、总价……字母y表示时间、数量……还要体会用字母表示正比例意义的好处，明白速度一定的路程和时间、单价一定的总价和数量，都具有关系式x/y＝k（一定）。凡是具有这样关系的两种相关联的变量，就是成正比例的量。“玉米”卡通提出“生活中还有哪些成正比例的量？能举例说说吗？”引导学生带着初步形成的正比例概念，回归日常生活，通过寻找成正比例关系的量，进一步体验正比例关系的本质特征。这是数学概念教学经常需要的“具体化”环节。为了帮助学生更好地理解正比例的意义，巩固正比例概念，教材安排了三个层次的练习题。第一层次是“练一练”第1题，要求学生研究生产零件的数量和时间的关系。教材为研究关系设计了两个问题，学生只要顺着问题写出几组对应数量的比，并计算比值，根据比值都相等，作出成正比例关系的判断。第二层次是“练一练”第2题和练习十第1题，研究做服装的数量和用布的数量、订阅《趣味数学》杂志的数量和总价是否成正比例。教材只在表格里给出几组做服装的数量和用布的数量，几组订阅的份数和总价，要求学生自主开展判断活动。他们可以借鉴例题、“试一试”以及“练一练”第1题里的判断线索与方法，通过几组对应数量的比的比值相等，作出做服装的数量和用布的数量、订阅杂志的份数和总价成正比例的判断。第三层次是练习十第2题，引导学生体会两种相关联的量有可能成正比例，也可以不成正比例。在正方形按比例放大的情境中，由于周长/边长＝4（一定），周长和边长成正比例；而面积/边长＝边长，不存在相同的比值，面积和边长不成正比例。学生在上述的判断中，能够获得对正比例比较深刻的认识，他们的正比例概念会更加清楚、牢固，判断两个相关联量成不成正比例的能力也会有很大的提高。（二）用图像直观表达正比例关系，感受两种量的同步变化例2教学正比例关系的图像。这是按课程标准的要求“根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的。小学数学里正比例关系的图像，在直角坐标系上是以原点（0，0）为端点，向右上方延伸的射线。中学数学里，相关联的两种量不单取正数，还可以取负数，正比例关系的图像是经过或者不经过原点的直线。所以，本单元把正比例图像说成“直线”是恰当的。图像能够直观形象地表示一种量变化，另一种量也随着变化，两种量相对应的数的比的比值相等。正比例图像比较简单，特征比较明显，适宜让学生初步接触。教材直接呈现一幅根据例1的数据画成的图像，设计的三个问题体现了教学正比例图像的三个步骤：第一步认识方格纸上的点，按照“A点表示1小时行80千米”“B点表示5小时行400千米”，要求学生说出方格纸上标出的其他各点的具体含义。学生有数对确定位置的知识与经验，能够体会各个点都表示汽车在某段时间内所行驶的路程，还能体会这些点是根据每组对应的时间和路程在方格纸上画出来的。教学这一步，应先观察方格纸上的横轴和纵轴，了解横轴用来表示行驶的时间，纵轴用来表示行驶的路程。再观察各个点的位置，了解各个点表示的时间与路程。第二步认识正比例图像的形状。连接方格纸上的各点，所有点都在一条直线上。这就是说，正比例关系的图像是一条直线。了解正比例图像是直线，将会起两点作用：一是根据图像的形状，可以判断两种相关联的量成不成正比例关系。如果方格纸上表示两种量所有对应数量的点都在同一条直线上，这两种量是成正比例的量；如果表示两种量对应数量的点不在同一条直线上，这两种量一般不成正比例关系。二是可以检验画出的正比例图像是否正确，如果成正比例关系的两种量的所有对应数量的点，不在同一条直线上，表明描点出现了错误，应及时检查并纠正。第三步应用图像，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所用的时间。要指导学生联系数对确定位置的经验，利用画垂线和平行线的技能尽量使估计的结果准确些。如估计2.5小时行驶多少千米，先要在横轴上找到表示2.5小时的点，过这点画横轴的垂线，得到垂线与图像的交点，再过交点作纵轴的垂线，根据垂足在纵轴上的位置估计行驶的路程。像这样画图，在方格纸上是比较方便的，借助方格纸的横线与纵线，很容易画横轴与纵轴的垂线。所以，课程标准明确规定在方格纸上画或使用正比例的图像。“练一练”和练习十里配合例2的习题大致有以下内容：第一，按两种相关联量的几组相对应的数据，画出正比例图像。经历在方格纸上描点、连线等活动，体验正比例图像是一条直线。如“练一练”。第二，利用正比例图像进行估计。根据已知的数量，说出相对应的另一个数量。这是应用正比例图像解决简单的实际问题，有助于加强正比例的概念。几乎每一道题里都有这个要求。第三，根据图形，判断两种相关联量成不成正比例关系。前面已经说过，图像是一条直线的，两种量成正比例关系；图像不是一条直线的，两种量不成正比例关系。如练习十第3题。这些都是基本要求，每一个学生都应该达到。个别习题的题材，学生可能不太熟悉，如练习十第5题，弹簧挂上物体后长度会伸长。可以取一根弹簧，分别挂上质量明显不同的若干个物体，让学生看到，挂上质量轻的物体，弹簧伸得短；挂上质量重的物体，弹簧伸得长。体会物体质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量，它们有相对应的数据。（三）调动学生的主动性和能动性，教学反比例的意义例3教学反比例的意义。教材安排的教学活动线索和例1十分相似：用60元钱购买笔记本，用表格给出笔记本单价1元，可以买60本；单价2元，可以买30本；单价3元，可以买20本；单价4元、5元、6元……分别可以买15本、12本、10本……从表格里的数据体会总价60元确定不变，如果笔记本的单价不同，购买的数量就不同。虽然反比例与正比例有明显的不同，但探索正比例关系的活动经验，仍然能应用于反比例的学习中。例3没有像例1那样，提出一系列连续的问题，而是直接提出“表中的两个量是怎样变化的？这种变化有什么规律”，给学生较大的探索空间。教材希望学生在表格的两组数据中看到：单价和数量是两种相关联的数量，单价变化会引起数量的变化；看到单价与数量变化时，总价始终不变，即单价与数量的乘积保持不变。于是得出描述这种变化的数量关系式“单价×数量=总价（一定）”。在上述探索与交流的基础上，教材指出：单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和数量的积总是一定时，单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量。从而揭示反比例的概念，让学生意义接受这个概念。“试一试”呈现生产240个零件，工作效率和工作时间的几组对应数量。表格里已经给出工作效率分别是