中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————1中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例：1、与相似及圆有关的基本图形C'ABCB'C'B'CBAB'C'CBAOABCC'B'B'OABCOB'C'ABCEDABCODCABODACBEOFECABD数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————22、正方形中的基本图形3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；（4）特殊图形的辅助线及其迁移．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。三.题目举例(一)基本图形与辅助线的添加例1、已知：AC平分MAN（1）在图1中，若120MAN，90ADCABC，ACADAB___。（填写“”或“”或“”）（2）在图2中，若120MAN，180ADCABC，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①若60MAN，180ADCABC，判断ADAB与AC的数量关系，并说明理由；②若)1800(MAN，180ADCABC，则ACADAB_____（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）FEABDCFDCBAEG数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————3解：(1)AB＋AD=AC．--------------------------------------------------------------------------1分(2)仍然成立．证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠CEA=∠CFA=90°．∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠MAC=∠NAC=60°．又∵AC=AC，∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，CE=CF．∵在Rt△CEA中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE．∴AE+AF=2AE=AC．∴ED+DA+AF=AC．∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠CDE=∠CBF．又∵CE=CF，∠CED=∠CFB，∴△CED≌△CFB．∴ED=FB，∴FB+DA+AF=AC．∴AB+AD=AC．-----------------------------------------4分(3)①AB+AD=3AC．证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC．∴AG=AH．∵∠MAN=60°，∴∠GAC=∠HAC=30°．∴AG=AH=23AC．∴AG+AH=3AC．∴GD+DA+AH=3AC．方法同(2)可证△GDC≌△HBC．∴GD=HB，∴HB+DA+AH=3AC．∴AD+AB=3AC．-------------------------------------------------------------------------------------6分②AB＋AD＝2cos2·AC．-------------------------------------------------------------------7分例2、已知：AOB△中，2ABOB，COD△中，3CDOC,ABODCO∠∠.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.PNMDCBAOPNMDCABONMACBDFEMNADCBHG数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————4图1图2(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO∠，则PMN△的形状是________________，此时ADBC________；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，证明PMNBAO△∽△，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；(3)在图2中，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.例3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．解：（1）k=1；………….……………………………2分（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.由题意，tan∠BAC=12，∴12BCDEACAE.∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB.∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,∴∠QBC=∠EAQ.∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.∴BCGACE△∽△.∴12BCGBACAE.∴GB=DE.BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图2图BDEAFCGQ数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————5∵F是BD中点，∴F是EG中点.在RtECG△中，12CFEG,∴2BEDEEGCF.……………………5分（3）情况1：如图，当AD=13AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=12，且BC=6,∴AC=12，AB=65.∵M为AB中点，∴CM=35,∵AD=13AC，∴AD=4.∵M为AB中点，F为BD中点，∴FM=12AD=2.∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=235.6分情况2：如图，当AD=23AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为435.…7分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为435.………8分（二）直角三角形斜边中线+四点共圆例4、已知：在△ABC中，∠ABC=90,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D，且点M为EC中点,连接BM,DM.（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明;（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系.图1图2（三）倍长过中点的线段例5、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DFBEDAMCEBACDMBEDAMCEBACDMADMFCBADFCMB数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————6的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABCBEF，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示）．解：（1）线段PG与PC的位置关系是；PGPC．（四）共端点的等线段，旋转例6、如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2tanB.（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：AFEFDF2；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.DABEFCPG图1DCGPABEF图2数学专题之【压轴题】精品解析———————————————————————————————————————7证明：（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴2tanBEAEB∴BEAE2．································································1分∵E为BC的中点，∴BEBC2．∴AE=BC.∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC.∴AE=AD.····························································································································2分（2）在DP上截取DH=EF（如图8）．∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，∴∠EAD=90°．∵EF⊥PD，∠1＝∠2，∴∠ADH