2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题(Word版)

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.2、设函数,0,()ln,0,xxxfxxxx„则0x是()fx的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3、设{}nu是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是A.1.nnunB.11(1).nnnuC.11(1).nnnuuD.2211().nnnuu4、设函数2(,).xQxyy如果对上半平面(0)y内的任意有向光滑封闭曲线C都有(,)d(,)d0CPxyxQxyyÑ，那么函数(,)Pxy可取为A.23.xyyB.231.xyyC.11.xyD.1.xy5、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若22AAE，且4A，则二次型TxAx规范形为A.222123.yyyB.222123.yyyC.222123.yyyD.222123.yyy6、如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)iiiiaxayazdi组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,AA，则A.()2,()3.rrAAB.()2,()2.rrAAC.()1,()2.rrAAD.()1,()1.rrAA7、设,AB为随机事件，则()()PAPB充分必要条件是A.()()().PABPAPBB.()()().PABPAPBC.()().PABPBAD.()().PABPAB8、设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N，则{1}PXYA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与，2都有关.D.与，2都无关.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、设函数()fu可导，(sinsin)zfyxxy，则11coscoszzxxyy.10、微分方程2220yyy满足条件(0)1y的特解y.11、幂级数0(1)(2)!nnnxn在(0,)内的和函数()Sx.12、设为曲面22244(0)xyzz…的上侧，则2244ddxzxy.13、设123(,,)Aααα为3阶矩阵.若12,αα线性无关，且3122ααα，则线性方程组Ax0的通解为.14、设随机变量X的概率密度为,02,()20,xxfx其他,()Fx为X的分布函数，EX为X的数学期望，则{()1}PFXEX.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）设函数()yx是微分方程22exyxy满足条件(0)0y的特解.（1）求()yx；（2）求曲线()yyx凹凸区间及拐点.16、（本题满分10分）设,ab为实数，函数222zaxby在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34lij的方向导数最大，最大值为10.（1）求,ab；（2）求曲面222(0)zaxbyz…的面积.17、求曲线esin0xyxx…与x轴之间图形的面积18、2,1,01102ndxxxan设（1）证明数列na单调递减；且3,2212nannann2求1limnnnaa19、设Ω是由锥面101222zzzyx与平面z0围成的椎体，求Ω的形心坐标。20、已知向量组Ⅰ：TTTa3,2,1,4,0,1,4,1,12321Ⅱ：TTTaaa3,3,1,1,2,0,3,1,12321若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，求a的取值，并将3用321,,线性表示。21已知矩阵22122002Ax与21001000By相似.（1）求x,y;（2）求可逆矩阵P使得1PAPB.22设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为(1)PYp,(1)1PYp,(01p)，令ZXY.（1）求Z的概率密度;（2）p为何值时，X与Z不相关;（3）X与Z是否相互独立?23、（本题满分11分）设总体X的概率密度为22()22e,,(;)0,,xAxfxx…是已知参数，0是未知参数，A是常数.12,,,nXXX是来自总体X简单随机样本.（1）求A；（2）求2的最大似然估计量.