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量子力学考自测题（13）一、（20分）质量为m的粒子做一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量p与动能T的取值概率分布及平均值。二、（20分）质量为m的粒子处于如下一维势阱中若已知粒子在此势阱中存在一个能量的本征态，试确定此势阱的宽度a。三、（20分）在三维希尔波特空间中，已知两个算符的矩阵形式为；其中ｂ、ω为实常数。证明算符是厄米算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。四、（20分）固有磁矩为的电子，t=0时处于的状态，同时进入均匀磁场中。给出t0时的波函数，在此状态下测量得的概率是多少。五、（20分）一个电荷为q、质量为和角频率为的线谐振子，受到恒定弱电场的作用，即，求其能量近似到二级修正，波函数近似到一级修正。量子力学自测题（13）参考答案一、（20分）质量为m的粒子做一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量p与动能T的取值概率分布及平均值。解做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为；显然两者相互对易，有共同完备本征函数分别满足将向展开，即展开系数只有当p=0，±2k时，。利用归一化条件可知，归一化常数为于是归一化后的展开系数为；；动量的取值概率为；；平均值为动能的取值概率与动量相同，而平均值为二、（20分）质量为m的粒子处于如下一维势阱中若已知粒子在此势阱中存在一个能量的本征态，试确定此势阱的宽度a。解对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中；当时，，于是C=0。在x=0处，，故有，，即，于是波函数简化为在x=a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量本征值满足的超越方程。当时，由于（n=1，2，3，…）最后得到势阱的宽度三、（20分）在三维希尔波特空间中，已知两个算符的矩阵形式为；其中ｂ、ω为实常数。证明算符是厄米算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。解由厄米算符的定义知，厄米算符满足或者题中所给出的算符和算符皆为实对称矩阵，故它们都是厄米算符。因为而所以有设满足的本征方程为由于是对角矩阵，所以它的本征值就是其对角元，即其中E2=E3，该本征值具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符不能惟一确定E2、E3的波函数。当时，由本征方程可知，c1=1,c2=c3=0,于是波函数为进而得到上式说明也是算符的本征波函数，对应的本征值为-b。由此看来，是算符与的共同本征函数，对应的本值分别为和B1=-b。当E2=E3=-时，波函数无法惟一确定，它们的矩阵形式是一样的，为简洁起见，统一记为用算符作用上式，得到其满足的本征方程在简并子空间中，久期方程为得到B的另外两个本征值，分别记为B2=b；B3=-b当B2=b时，将其代入本征方程，有得到d2=d3由归一化条件知进而得到将其代入的表达式，有当B3=-b时，重复上面的求解过程，可以得到综上所述，算符与的本征值都是二度简并的，本征波函数皆不能惟一确定，但因为它们相互对易，所以有共同完备本征函数系，它们的共同本征函数是惟一确定的，用公式表示如下四、（20分）固有磁矩为的电子，t=0时处于的状态，同时进入均匀磁场中。给出t0时的波函数，在此状态下测量得的概率是多少。解第一步，解定态薛定谔方程。这是一个讨论自旋状态随时间演变的问题，故可以不顾及空间自由度。磁矩与外磁场相互作用引起一个附加能量，与自旋相关的哈密顿算符为其中e、m分别为电子的电荷的绝对值与质量。若令则哈密顿算符可简化为在表象中，哈密顿算符是对角矩阵，它的解可以直接写出；；第二步，写出任意时刻的波函数。依题意知式中是在s2、sx表象中的的本征矢。为了将其在表象中表示出来，必须求解满足的本征方程，即解之得，对应的本征矢分别为在表象中，初态为于是t0时刻的波函数为第三步，求在态上测量，得的概率。在态上测量得的概率为实际上，由于的守恒量，故其取值概率不随时间改变。五、（20分）一个电荷为q、质量为和角频率为的线谐振子，受到恒定弱电场的作用，即，求其能量近似到二级修正，波函数近似到一级修正。解体系的哈密顿算符与微扰算符分别为的解为；由于的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式进行计算。由可知显然能量一级修正能量的二级修正为近似到二级修正的能量本征值为此结果与习题选讲3.4得到的精确解完全一致。波函数的近似值为