矢量和张量

补充：矢量和张量在传递现象的理论中所遇到的物理量可以分成下面几类：标量，如温度、能量、体积和时间等；矢量，如速度，动量，加速度和力等；以及二阶张量，如剪切应力或动量通量张量等。我们将采用不同的符号以示区别：s＝标量(斜体字母)v＝矢量(黑斜体字母)τ＝张量(黑希腊字母)矢量和张量可以有几种乘法运算，分别以三种特定的乘法符号来表示这些运算(定义见后)：“单点积”.“双点积”：以及叉积x。我们还采用三种不同的括号表示括号内乘法运算所得结果的类型：()＝标量[]＝矢量{}＝张量如果括号内只含有加法和减法运算，括号的类型就无特别意义。因此，(v·w)和(σ：τ)是标量，[v×w]是矢量，而{σ·τ}则是张量。另一方面，有时为了方便，(v·w)亦可写成[v·w]或{v·w}事实上，标量可以认作零阶张量，矢量可认作一阶张量。乘法符号还可作如下解释:4-2-1-：无结果的阶数乘法符号其中，∑表示被乘量的阶数之和。例如sτ的阶数为0+2＝2，vw的阶数为l+1＝2，[v×w]的阶数为1+1-1=1，(σ:τ)的阶数为2+2-4＝0，而{σ·τ}的阶数为2+2-2＝2。有关标量的基本运算勿庸赘述。标量运算满足交换率、结合率和分配率。矢量运算的几何表示•矢量及其大小的定义：矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。矢量的大小记作|v|。或以非黑体的斜体字v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v和w的大小相同，但方向相反，则v＝-w。矢量的加法和减法两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形法则进行运算；矢量减法运算如下：改变一个矢量的符号，然后与另一失量相加。矢量和标量的乘法用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大小改变，但方向不变。下述定律适用；二矢量的标量积(或点积)二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：一矢量与其自身的标量积就是该矢量大小的平方，vwvwcoswv22vvvv二矢量的矢量积(或叉积)vwvwvwnwvsin式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有0vv矢量运算的解析表示克罗内克符号(Kroneckerdelta)δij和交错单位张量εijk，可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：ji0ji1若若ijij若任两个角标相同或，若或，若021313232113122311231ijkijkijkijkijkjminjnimkmnkijkihjkhjkijk2在求证矢量等式关系时，有几个包含有这些量的关系式十分有用一个3x3阶行列式可以用εijk写成ijkkjiijkaaaaaaaaaaaa321333231232221131211矢量及其大小的定义：单位矢量一矢量v可以完全地用其在座标抽I，2，3上的投影v1,v2,v3来描述(见左图)。因此一矢量可以解析地表示为：一矢量的大小如下式所给：31321iiivvvv321v上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质它们可归纳如下；式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错单位张量。矢量的加法和减法二矢量v和w相加或相减可以用它们的分量表达如下几何上，上式相当于把v和w在每一轴的投影相加，然后以这些新的分量构成一个新的矢量。三个和三个以上的矢量的相加完全可用同样方法运算。失量与标量的乘法一矢量和一标量相乘相当于矢量的每一分量与该标量相乘)(iiiiiiiwvwviiiwv二矢量的标量积(或点积)iiiijjiijijjijijjjiiiwvwvwvwvwv因此，二矢量的标量积可以把这二个矢量对应的分量相乘再加和得到。二矢量的矢量积(或叉积)321321321多重矢量积例如，三重矢量积上式是平行六面体体积的另一表达式。进而，三个矢量u,v和w共面的充要条件是该行列式为零。321321321wvu一些矢量恒等式矢量微分运算•矢量微分算符▽又称“nabla”或“del,”或哈密尔顿算符（Hamiltonianoperator），在直角座标系下定义为：iiixxxx332211式中δi是单位矢量，xi是与座标轴1，2，3相关的变量(xi是位置座标，通常记为x,y,z)。符号▽是一矢性算符；它与矢量一样，具有三个分量，但不能单独存在，必须作用于一个标量、矢量或张量来运算。标量场的梯度若s是变量x1，x2，x3的一个标量函数，那么▽作用于s的运算为:由s的各导数为分量构成的矢量记为▽s(或grads)，称它为标量场s的梯度。注意下面关于梯度运算的法则：矢量场的散度如果矢量v是空间变量x1，x2，x3的函数那末利用算符▽可得出一个标量积:矢量场的旋度上式给出了以矢量v的分量的导数的一个集合，称为v的散度(又常简写为divv)。散度运算有下面一些性质需加注意：标量场的拉普拉斯算符由此构成的矢量称为v的旋度。[▽xv]的另一符号记作curlv或rotv。德国文献中常采用后一种符号。与散度一样，旋度运算满足分配律，但不满足交换律和分配律。对标量函数s的梯度作散度运算，可得上式最后一项为作用s的微分算符的集合，我们以▽2表示之。这样，在直角座标系下有称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样，拉普拉斯算符只具有分配律性质。矢量场的拉普拉斯算符虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：就可用于曲线座标系。二阶张量本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些运算方法。这些运算在传递现象的理论中会遇到，特别是动量传递中。定义和符号矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地，一个二阶张量τ可以用九个分量τ11，τ12，τ13，τ21等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数，而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标不同的元素为非对角元素。如果τ12＝τ21，τ13＝τ31，τ23＝τ32那么τ称为对称张量。张量τ的转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一个张量记作τT：并矢量二个矢量v和w的并矢积是二阶张量的一个特殊形式，它的分量是该二矢量的分量之积；于是并矢积vw是单位张量是对角分量皆为1，非对角分员皆为零的一个张量：单位张量的分量是δij，即克罗内克符号。还应注意，单位张量的每一行(或列)分别是三个单位矢量δ1，δ2，δ3的各个分量。现在引入一组单位并矢量，总共有九个单位并矢量：于是单位并矢量的四个重要关系式lilkjikkjiikjilkjiδδδδδδδδδδδδδδδδ:δδjkijjkiljk张量和并矢量的相加两个张量的和可表达如下：这就是说，二个张量之和为一张量，它的分量是这二个张量相对应的分量之和。对于并矢积亦成立。一张量和一标量的乘法二张量的标量积(或双点积)可按双点积运算求二个张量的乘积ijjiijijklklijjkilijklklijlkjiklkllkijijji:::类似地，可以证明二张量的张量积一张量与一矢量的矢量积(或点积)当一张量与一矢量作点积，得一矢量：由上面这些结果，可容易地证得下列恒等式，含有张量和并矢量的微分运算在并矢量中有一个重要的成员▽v，它在传递过程中有着重要的用途，在直角坐标系中▽v的表达为用同样的方法可得用上面的方法可以很方便地证明张量恒等式一个张量微分恒等式的证明式中t是沿c积分方向上的单位切矢量，n是S的单位法矢量，其指向是当右螺旋沿c积分时螺旋前进的方向。对于张量，有与上式相似的关系式。三维的莱布尼兹公式令V为由曲面S所围的封闭的运动空间，又令vs为任一面元的速度，则有曲线座标系中矢量和张量的分量柱坐标系柱坐标系三个单位矢量δr、δθ、δz与直角坐标系三个单位矢量δx、δy、δz之间的关系用矩阵方式表达如下球坐标球坐标系子个单位矢量δr、δθ、δφ与直角坐标系三个单位矢量δx、δy、δz之间的关系用矩阵方式表达如下弧元素和拉梅系数设正交曲线坐标系中的三个曲线坐标为q1、q2、q3，弧元素ds与曲线坐标之间的关系为其中hi称为拉梅系数或尺度因子梯度、散度、旋度、拉普拉斯运算的通用表达式3322111,1,1qshqshqshs3123213213213211qhhVqhhVqhhVhhhV3322113213322113211VhVhVhqqqhhhhhhV3312322312113213211qshhhqqshhhqqshhhqhhhs式中δ1，δ2，δ3为正交曲线坐标系中的三个单位矢量，解在正交曲线坐标系中应用拉梅系数可将▽.τ的表达式写作：在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，r，1)故有在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，r，rsinθ)故有