纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导

本构方程和NS方程粘性流体动力学基础本构方程及N-S方程李连侠水力学与山区河流开发保护国家重点实验室2009年4月本构方程和NS方程粘性流体动力学基础内容提要•流体运动分析及理想流体基本方程•真实流体受力分析•利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体质点运动的分析•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后，该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。设方形流体微团中心M的流速分量为ux和uy，则微团各侧边的中点A、B、C、D的流速分量分别为：微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础•平移运动速度微团上各点公有的分速度ux和uy，使它们在dt时间内均沿x方向移动一距离uxdt,沿y方向移动一距离uydt。因而，把中心点M的速度ux和uy，定义为流体微团的平移运动速度。•线变形运动微团左、右两侧的A点和C点沿x方向的速度差为，当这速度差值为正时，微团沿x方向发生伸长变形；当它为负时，微团沿x方向发生缩短变形。•线变形速度单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。流体微团沿x方向的线变形速度：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础旋转角速度把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平面上的旋转角速度。)(21zuyuyzx)(21xuzuzxy)(21yuxuxyz；；•角变形速度：直角边AMC（或BMD）与对角线EMF的夹角的变形速度)(21zuyuyzx)(2xuzuyzxy)(21yuxuxyz本构方程和NS方程粘性流体动力学基础亥姆霍兹速度分解定理整理推广得本构方程和NS方程粘性流体动力学基础微元体及其表面的质量通量微元体内的质量变化率输入微元体的质量流量质量守恒直角坐标系中的连续性方程－输出微元体的质量流量＝yxzdzdxdyxvdydzxxvvdxdydzx不可压缩流体连续性微分方程本构方程和NS方程粘性流体动力学基础1、x方向：dt时间内沿从六面体x处与x+dx处输入与输出的质量差：()()xxxxvvvdydzdtvdxdydzdtdxdydzdtxxdxdydzdtyvy)(dxdydzdtzvz)(Y方向：；Z方向：2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：()()()()()()yxzyxzvvvdxdydzdtdxdydzdtdxdydzdtxyzvvvdxdydzdtxyz本构方程和NS方程粘性流体动力学基础3、微元体内的质量变化：dxdydzdtt从而有：()()()yxzvvvdxdydzdtdxdydzdtxyzt或：()()()0yxzvvvtxyz连续性方程连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。矢量形式：()0t（适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体）本构方程和NS方程粘性流体动力学基础0zvyvxvzyx上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。一维流动的连续方程1122AA若流体不可压缩：本构方程和NS方程粘性流体动力学基础理想流体的运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用牛顿第二定律加以推导。受力分析：1、质量力：2、表面力：fxρdxdydz切向应力＝0（理想流体）法向应力＝压强2dxxpp2dxxppx轴正方向x轴正方向x轴负方向aF本构方程和NS方程粘性流体动力学基础理想流体的运动微分方程根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程dtduzyxzyxxppzyxxppzyxfxxddddd2ddd2dddddtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1理想流体的运动微分方程即欧拉运动微分方程xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1本构方程和NS方程粘性流体动力学基础粘性流体的运动微分方程以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下的矢量形式：这里：是流体微团的加速度，微分符号：称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质时间的变化率。PFDtDVVVVVtDtDiixVttDtDV(1)(2)(3)本构方程和NS方程粘性流体动力学基础应力状态及切应力互等定律xxxxxxdxxyxzxzxyxydxxzxzxdzzzxzzzzdzzzzyxyzyzyzdyyyxyxdyy微元体上X和Z方向的表面力粘性流场中任意一点的应力有9个分量，包括3个正应力分量和6个切应力分量：应力状态：切应力互等定律在6个切应力分量中，互换下标的每一对切应力是相等的。xyyxzyyzxzzx本构方程和NS方程粘性流体动力学基础微元体表面力的总力分量X方向的表面力：Y方向的表面力：xyyyzydxdydzxyzZ方向的表面力：yzxzzzdxdydzxyzdxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx本构方程和NS方程粘性流体动力学基础动量流量及动量变化率yxzdzdxdyxxvvxxxxvvvvdxxzxvvyxyxvvvvdyyzxzxvvvvdzzyxvv动量在微元体表面的输入与输出动量流量动量通量动量流量x流通面积＝图中标注的是动量的输入或输出方向，而动量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础x方向：2()()()yxxzxdxdydzxyz输入输出微元体的动量流量y方向：z方向：2()()()xyyzydxdydzxyz2()()()yzxzzdxdydzxyz微元体内的动量变化率x方向：xdxdydzty方向：ydxdydztz方向：zdxdydzt流体的瞬时质量为dxdydzdxdydzvxX方向的瞬时动量为本构方程和NS方程粘性流体动力学基础x方向的运动方程：以应力表示的运动方程()yxxxxxxxzxxyzxftxyzxyzy方向的运动方程：z方向的运动方程：yyyyxyyyzyxyzyftxyzxyzyzxzzzzzzzxyzzftxyzxyz注：上式就是以应力表示的粘性流体的运动方程，适用于层流、湍流、牛顿、非牛顿流体。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础方程的物理意义：方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点加速度的三个分量；方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体积力在各坐标上的分量。方程可简略表示成：aF这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律xxaDtDv/本构方程和NS方程粘性流体动力学基础粘性流体运动微分方程以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。Navier－Stokes方程对一维流动问题：补充方程：牛顿剪切定律对粘性流体流动问题：补充方程：广义的牛顿剪切定律即：牛顿流体本构方程目的将应力从运动方程中消去，得到由速度分量和压力表示的粘性流体运动微分方程，即N-S方程。关键：寻求流体应力与变形速率之间的关系本构方程和NS方程粘性流体动力学基础牛顿流体的本构方程引入的基本假设：为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个基本假设：应力与变形速率成线性关系;应力与变形速率之间的关系各向同性；静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力pzzyyxx本构方程和NS方程粘性流体动力学基础牛顿流体的本构方程：223yxxzxxvvvpxxyz223yxzzzzvvvpzxyz223yyxzyyvvvpyxyzyxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本构方程和NS方程粘性流体动力学基础本构方程的讨论：正应力中的粘性应力：流体正应力与三个速度偏导数有关(即:线变形率)，同固体力学中的虎克定律。线变形率与流体流动：从流体流动角度看，线变形率的正负反映了流体的流动是加速还是减速；体变形率的正负反映了流动过程中流体体积是增加还是减少。正应力与线变形速率：223yxxzxxvvvpxxyzxxxxxxp附加粘性正应力附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。本构方程和NS方程粘性流体动力学基础正应力与压力：由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等于正应力值。但有：这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平均值却总是与压力大小相等。切应力与角边形率：流体切应力与角变形率相关。牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系，是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。vppzzyyxxm'3本构方程和NS方程粘性流体动力学基础流体运动微分方程——Navier－Stokes方程223xxxDvpfDtxxxxyxxzvvvvyyxzzx适用于牛顿流体本构方程和NS方程粘性流体动力学基础常见条件下N－S方程的表达形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz适用于牛顿流体常粘度条件下N－S方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz