第四章---假设检验

第四章假设检验统计假设检验的基本任务根据样本所提供的信息，对未知总体分布的某些方面（如总体均值、方差、分布本身等等）的假设作出合理的判断。主要内容假设检验的基本概念一个正态总体均值与方差的检验两个正态总体均值与方差的检验分布拟合检验拟合检验法独立性检验正态性检验等两个总体相等性检验2§4.1假设检验的基本概念..010p一、假设检验问题例1：假定按国家规定，某种产品的次品率不得超过1％，现从一批产品中随机抽出200件，经检查发现有3件次品，试问：这批产品是否次品率符合国家标准。问题：根据抽样的结果来判断是否例2：，，其均值合金，测得强度值为块出，某天从生产中随机取的设计值为，其中从正态分布某厂生产的合金强度服1082511016251xxxpaN,,)(),(问当日生产是否正常.110例3：某建筑材料，其抗断强度的分布以往一直服从正态分布，现改变配料方案，希望确定新产品的抗断强度X是否仍服从正态分布.这类问题称为假设检验，有两个共同特点：01H统计假设，记为变量的一种论断，称为提出一个关于随机先根据实际问题的要求)(0100.:pH1100:H).,(~:20NXH（2）抽取样本和集中样本的有关信息，要求对假设的真伪进行判断，称为检验假设，最后对假设作出拒绝或接受的决策。0H0H假设检验问题的分类：1.参数假设检验：求检验。针对未知参数提出并要已知，参数未知，假设或概率函数若总体的分布函数011HxpxFkk),,;(),,;(2.非参数假设检验若总体的分布函数或概率函数为未知，假设针对总体的分布，分布的特征或总体的数字特征而提出并要求检验。0H0H表示原来的假设，称为原假设或零假设。所考察的问题的反面称为备择假设或对立假设，记为.1H二、假设检验的基本原理概率性质的反证法：为了检验原假设是否正确，先假定为正确，看由此能推出什么结果，如果导致一个不合理现象出现，则表明“假设为正确”是错误的，拒绝原假设；否则，则接受原假设。0H0H0H0H0H概率性质的反证法的根据：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。在假设检验中，我们作出接受或拒绝的决策，并不等于我们证明了原假设正确或错误，而只是根据样本所提供的信息以一定的可靠程度认为是正确或错误。0H0H0H0H实例某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,问机器是否正常?,的均值和标准差装糖重总体分别表示这一天袋和用X分析:由长期实践可知,标准差较稳定,,015.0设),015.0,(~2NX则.未知其中问题:根据样本值判断.0.50.5还是提出两个对立假设.:5.0:0100HH和再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1),还是拒绝假设H0(接受假设H1).如果作出的判断是接受H0,即认为机器工作是正常的,否则,认为是不正常的.,0则由于要检验的假设涉及总体均值,故可借助于样本均值来判断.,的无偏估计量是因为X,||,00不应太大则为真所以若xH),1,0(~/,00NnXH为真时当,/||||00的大小的大小可归结为衡量衡量nxx于是可以选定一个适当的正数k,,,/00Hknxx拒绝假设时满足当观察值.,/,00Hknxx接受假设时满足当观察值反之),,(~/1000NnXUH为真时因为当由标准正态分布分位点的定义得,/21uk.,/,,///02100210HunxHunx接受时拒绝时当0.05,在实例中若取定,../961975021uuk则0.015,,9n又已知0.511,x由样本算得1.96,2.2/0nx即有于是拒绝假设H0,认为包装机工作不正常.假设检验过程如下:以上所采取的检验法是符合小概率原理的.0.05,0.01,,一般取总是取得很小由于通常,,21000,//小概率事件是一个时即为真因而当unXH.称为显著性水平在假设检验中，数三、两类错误检验的结果与真实情况可能吻合也可能不吻合，因此检验是可能犯错误的。第一类错误：。中，从而拒绝观测值落在拒绝域为真但由于随机性样本00HH000)()|(WXPHHP为真拒绝拒真概率第二类错误：。中，从而接受观测值落在接受域不真但由于随机性样本00HH真实情况(未知)所作决策接受H0拒绝H0H0为真正确犯第I类错误H0不真犯第II类错误正确假设检验的两类错误拒真概率和受伪概率可用同一个函数表示。110)()|(WXPHHP为真接受受伪概率定义1：设检验问题1100:..:HsvH势函数，记为内的概率称为该检验的落在拒绝域，则样本观测值的拒绝域为WXW.)()(10WXPg显然，101)()()(g注：在样本量一定的条件下，不可能找到一个使都减小的检验。,定义2：对检验问题1100:..:HsvH，，都有意如果一个检验满足对任)(g0的检验。简称水平为的显著性检验，平为则称该检验是显著性水。通常选择1.0/05.0/01.0说明：（二）构造检验统计量。的精确分布或渐近分布定成立的条件下，确，并且在计量为基础构造一个检验统极大似然估计的常以的表达式为已知时，通分布密度THXXTTxPn01),,(ˆ),(（一）建立假设：提出原假设和备选假设四、假设检验的基本步骤0H.1H。域进而确定临界值及拒绝，构造小概率事件，水平（三）对给定的显著性W拒绝域：使原假设被拒绝的样本观测值所在的区域。常用的拒绝域形式：（1）单侧拒绝域}),,(:),,{(cxxTxxWnn11或}),,(:),,{(cxxTxxWnn11（2）双侧拒绝域}),,(),,(:),,{(21111cxxTcxxTxxWnnn或或}|),,(:|),,{(cxxTxxWnn11待定。和其中临界值321ccc,当拒绝域确定了，检验的判断准则也确定了不成立；，则认为如果01HWxxn),,(成立。，则认为如果01HWxxn),,(（四）根据样本观测值确定是否拒绝.0H。，否则接受，则拒绝相比较，若，把它与临界值算得由样本值00111HHWxxxxTxxnnn),,(),,(),,(说明：在实际问题中，只能控制第一类错误的最大概率，那么选择哪个假设作为原假设，就要视具体问题的目的和要求而定。0H（1）原假设代表一种久已存在的状态，反映0H1H一种变化。（2）相比较来说，原假设要比简单。0H1H（3）尽量使后果严重的错误成为第一类错误。例如：“有病当作无病”会危害病人健康；“无病当作有病”会浪费一些药品。两种错误相比较，前者后果严重，应把它作为第一类错误。据此所建立的假设应该是：无病。有病；10HH:§4.2一个正态总体均值和方差的检验为观测值。的样本，为，总体nnxxXXXNX,,,,),(~1122一、方差已知时均值的假设检验：的检验问题有以下三种下，关于性水平为已知时，在给定显著当201001:..:HsvH）（（双侧检验）010001002:..::..:)(HsvHHsvH（右侧检验）010001003:..::..:)(HsvHHsvH（左侧检验）为常数。其中0现讨论0100:..:HsvH。件，应该拒绝为真时出现了小概率事应该认定比较大，则。若的是对于正态总体，000HHXUMVUEX取，为真}|{00HkXP因为在下),,(~100NnXU0H根据标准正态分布的分位数定义可得,10unXP所以检验的拒绝域为.:),,(101unxxxWn再讨论0100:..:HsvH为真时，有在0H,nXnX0于是有101unXunX::，因此由于总体),(~2NX),,(~10NnX故有101unXPunXP::概率事件，故拒绝域为为真时的小是也就是说010HunX:.:),,(101unxxxWn根据类似的讨论可以得到问题（3）的拒绝域为.:),,(unxxxWn01问题(1)的拒绝域为.:),,(2101unxxxWnU检验法二、方差未知时均值的假设检验：的检验问题有以下三种下，关于性水平为未知时，在给定显著当201001:..:HsvH）（（双侧检验）010001002:..::..:)(HsvHHsvH（右侧检验）010001003:..::..:)(HsvHHsvH（左侧检验）为常数。其中02现讨论0100:..:HsvH。件，应该拒绝为真时出现了小概率事应该认定比较大，则。若的是对于正态总体，000HHXUMVUEX取，为真}|{00HkXP因为在下),(~10ntnSXT0H根据t分布的分位数定义可得,)(10ntnSXP所以检验的拒绝域为.)(:),,(101ntnSxxxWn再讨论0100:..:HsvH为真时，有在0H,nSXnSX0于是有)(:)(:110ntnSXntnSX，因此由于总体),(~2NX),(~1ntnSX故有)(:)(:110ntnSXPntnSXP概率事件，故拒绝域为为真时的小是也就是说001HntnSX)(:.)1(:),,(01ntnsxxxWn根据类似的讨论可以得到问题（2）的拒绝域为.)1(:),,(101ntnsxxxWn问题(1)的拒绝域为.)1(:),,(2101ntnsxxxWnT检验法三、均值已知时方差的假设检验：的检验问题有以下三种下，关于性水平为已知时，在给定显著当2202120201:..:HsvH）（（双侧检验）20212020202120202:..::..:)(HsvHHsvH（右侧检验）20212020202120203:..::..:)(HsvHHsvH（左侧检验）为常数。其中20220212020:..:HsvH先讨论，的是已知时，对于正态总体，当UMVUEXnnii2121)(。大很多时，都应当拒绝或比当比值接近，应接近为真时，因此当0201220201011HXnHnii)(:取＝为真＋为真02201201201211HkXnPHkXnPniinii)()(为适当大的正数。为适当小的正数，其中21kk为简便取211