导数的几何意义

导数的几何意义xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：000xxyfxxxfxy＝函数＝在＝处的导数，记作：或表示“平均变化率”ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ＝００xy附近的变化情况。＝反映了函数在处的瞬时变化率，＝在表示函数＝000x0xxxxxfxylimxf2一、复习1、导数的定义其中：⑴其几何意义是:表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？2:切线Pl能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能xyo直线与圆相切时，只有一个交点P'000'0,,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,4,3,2,1,,21.100什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxPPQoxyy=f(x)割线切线T1、曲线上一点的切线的定义结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.点P处的割线与切线存在什么关系？新课xoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义：△x△yPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABC2CL1问题:如图直线L是曲线的切线吗？呢？l2l1AB0xyxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,,.1416.3,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是：.)(0xfk故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy题型三：导数的几何意义的应用例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点x=1处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出该点的坐标;②利用该点切线的斜率等于函数在该点的导数;③利用点斜式求切线方程.题型一求曲线的切线方程导数的几何意义的应用求抛物线y＝x2过点(52，6)的切线方程．[分析]点(52，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程．练习：已知曲线y＝x2，求曲线过点P(3,5)的切线方程变式一求切点坐标拋物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．审题指导解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时同时注意解析几何知识的应用．如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等．【解题流程】设切点坐标P（x0，y0）→求导函数y′＝f′（x）→由斜率k＝4，求x0→求P点坐标（x0，y0）→求切线方程[规范解答]设P点坐标为(x0，y0)，y′＝ΔyΔx＝（x＋Δx）2－x2Δx＝2x·Δx＋（Δx）2Δx＝(2x＋Δx)＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0，又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，∵P(2，y0)在拋物线y＝x2上，∴y0＝4，∴点P的坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0【题后反思】解答此类问题的步骤为：(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．(6)得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．【解】f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14..,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt跟踪训练2已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()解析答案返回A.f′(xA)f′(xB)B.f′(xA)f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB)D.不能确定解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)f′(xB).B练习1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在【解析】由x＋2y－3＝0知斜率k＝－12，∴f′(x0)＝－12＜0.【答案】B2．下列点中，在曲线y＝x2上且在该点处的切线的倾斜角为π4的点是()A．(0,0)B．(2,4)C.14，116D.12，14【解析】f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02x0Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0,2x0＝1，x0＝12，故切点为12，14.【答案】D3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2.求f(1)与f′(1)的值．【解】由题意f(1)＝12×1＋2＝52.由导数的几何意义得f′(1)＝k＝12.二、函数的导数：00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数.3）0x0()fx()fx0x0()fx()fx函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf求函数的导数【例2】求函数y＝f(x)＝3x2－x的导数，并求f′(1)，f′(5)的值．[解]Δy＝[3(x＋Δx)2－(x＋Δx)]－[3x2－x]＝6xΔx＋3(Δx)2－Δx∴ΔyΔx＝6xΔx＋3Δx2－ΔxΔx＝6x＋3Δx－1.∴y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6x＋3Δx－1)＝6x－1.∴f′(1)＝6×1－1＝5，f′(5)＝6×5－1＝29.解析limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.答案B函数y＝x2的导数为()A．xB．2xC．2D．4