3.1.3导数的几何意义

1【学习目标】1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】导数概念从平均变化率到瞬时变化率，因此探究导数的几何意义可以从割线入手，先定义切线，然后获得导数的几何意义.2复习回顾求平均变化率的步骤平均变化率的概念.2.1我们把式子fx2－fx1x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.3复习回顾3.函数的瞬时变化率的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝limΔx→0ΔyΔx4.函数的瞬时变化率的实例5.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.limΔx→0fx2－fx1x2－x1瞬时变化率f′(x0)或y′|x＝x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度(2)切线的斜率。4自学检测1.割线斜率设函数y＝f(x)，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx），f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是2.切线的斜率设函数y＝f(x)，AD是过点A(x0，f(x0))的一条切线，此切线的斜率是xy=fx0＋Δx－fx0Δxf′(x0)=limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx5自学检测3.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是相应地，切线方程为4.函数的导数函数y＝f(x)的导数切线的斜率曲线在点P处的f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)'')(yxf=limΔx→0fx＋Δx－fxΔx6问题探究导数的几何意义问题1如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．观察变化7问题探究导数的几何意义问题2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答案不一定．切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．8问题探究求切线的方程问题3怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答案根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线的方程．问题4①求曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线；②求曲线过点P(x0，y0)的切线方程。这两个问题是一回事吗？若不是，有何不同？曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点的切线，给出点不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．9问题探究导数的几何意义问题5函数在一点处的导数和导函数有什么联系？①函数在某一点的导数：对函数f(x)来说，f′(x0)是函数在点x＝x0处的导数，是一个具体值；②函数的导函数f′(x)是y＝f(x)的导函数，它随x的变化而变化(还是一个函数)，f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．10精讲点拨例1已知曲线y＝12x2－2上一点P(1，－32)，则过点P的切线的倾斜角为________．11精讲点拨例2(1)已知f(x)＝2x2，求在点(1,2)处的切线方程．(2)已知f(x)＝2x2，求过点(1,0)的切线方程．12精讲点拨小结求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标．13精讲点拨跟踪训练2已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?14精讲点拨例3设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．15达标检测1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．216达标检测2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定17达标检测3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋218达标检测4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．19达标检测5.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为[0，π4]，求点P横坐标的取值范围．20归纳延伸1．函数f(x)在某点处的导数的几何意义是曲线f(x)在该点处切线的斜率；要注意曲线在某点处的切线和过某点的切线的区别；2．函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，利用导函数和导数的几何意义可以解决一些和切线有关的问题．21课后作业预习：导数的计算预习作业完成《步步高学案》练习册页《导学案》、跟踪训练页《导学案》作业本12,4123.2346.122