随机过程及应用：预备知识：特征函数

特征函数一．特征函数的定义及例子设X,Y是实随机变量,复随机变量Z=X+jY的数学期望定义为1j),()()(YEjXEZE特别预备知识5特征函数特征函数)(sin)(cosxtxdFjxtxdF)(xdFejtx注,Rt1）costx和sintx均为有界函数,故)(jtXeE总存在.2)是实变量t的函数.)(jtXeE)sin()cos()(tXjEtXEeEjtXX是实随机变量求随机变量函数的数学期望特征函数定义5.1设X是定义在(Ω,F,P)上的随机变量,称RtxdFeeEjtxjt,)()(X为X的特征函数.关于X的分布函数的富里埃-司蒂阶变换当X是连续型随机变量,则;)()(φdxxfetjtx.)(φkkjtxpetk当X是离散型随机变量,则)(φt特征函数,1}{cXPEx.1单点分布R.,)()(φteeEtjtcjtcEx.2两点分布pepetjtjt10)1()(φ.,1RtpeqpepjtjtEx.3二项分布Rtpeqtnjt,)()(φEx.4泊松分布Rtetjte,)(φ)1(特征函数0)(φdxeetxjtx00sincostxdxejtxdxexxRtjtttjt,112222)0λ(0.0,0;,)(xxexfxEx.5指数分布特征函数Ex.6均匀分布],,[aaURtatatt,sin)(φEx.7正态分布N(a,σ2)Rttttjae,2221)(φσ特别对正态分布N(0,1)，有Rttte,221)(φ特征函数dxeetaxtxj22)(221)(axudueeuuajt2)(221dueejautja2)(2122221证明Rxexfax,21)(22)(2σσπRtttjae,2212特征函数二．特征函数性质性质5.1随机变量X的特征函数满足：;1)0(φ)(φ)1t.)(φ)(φ)2tt22)(sin)(cos)(φ)1tXjEtXEt证22)](sin[)](cos[tXEtXE])(sin[])(cos[22tXEtXE1])(sin)[(cos22tXtXE许瓦茨不等式(6.1.3))0(φ特征函数)()(φ)2jtXeEt)(sin)(costXjEtXE)(sin)(costXjEtXE)][sin()][cos(tXjEtXE][)(XtjeE性质5.2随机变量X的特征函数为则Y=aX+b的特征函数是,)(φtX)(φ)(φatetXjbtYa,b是常数.)(φt特征函数Ex.8设η～N(a,σ2),求其特征函数.解设X～N(0,1),有Y=σX+a,且.,)(φ221RtettX.,)(φ)(φ22X21RteeσtettσjatjatY证)(φ][][)(φ)()(ateeeEeEtXjbtXatjjbttbaXjη特征函数0,ε0,δ性质5.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.)(φtε)(φ)(φthtδh使时,对t一致地有一般，t)εδδ,(性质5.4特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n,任意复数z1,z2,…,zn,及,Rtrnrnssrsrzztt110.)(有,,,21,nr特征函数证)()()(111,xdFezzzzttxstrtjnrnsnsrsrsrsr)(][1,xdFeezznsrsrxsjtxrjt.0)(21xdFeznrrxrjt注以上性质中一致连续性，非负定性是本质性的.1,)0(φ特征函数定理5.1(波赫纳—辛钦)函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续,非负定且)(φt.1)0(φ定理5.2若随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k阶)(φt导数存在,且)(φ)(tk)((0),φ)()()(nkjXEkkk下定理给出了特征函数与矩的关系注逆不真.特征函数证仅证连续型情形设X的概率密度为f(x)，有)()]([xfexjdtxfedjtxkkkjtx][)()(kkkjtxXEdxxfxdxxfxe)()(XXjtkkkjtxkeEjdxxfxej两边求导，得对dxxfetjtx)()(φ)(φ)(tk特征函数令t=0，得故Ex.9随机变量X服从正态分布),(2aN.)()(XDXE和求解2221)(φtjatet)()0(φ)(kkkXEj)0(φ)()(kkkjXE22212)()(φtjatetjat2221222)()(φtjatetjat2222)()0(φ,)0(φajaja特征函数故ajXE)0(φ)(1222222)()()()(aaXEXEXD同理，可进一步计算随机变量X的k阶中心矩为偶数为奇数kkkaXEkk,)1(531,0)(特征函数三．反演公式及惟一性定理由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数：)(φ)(txF问题能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？)()(φxFt)()(φxFt？从而特征函数定理5.3（反演公式）设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F(x)和,)(t.)(φ2π1lim)()(2112dttjteexFxFTTjtxjtxT则对F(x)的任意连续点x1,x2,（x1x2）,有推论1(惟一性定理)分布函数F1(x)和F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数和恒等.(参见P245）)(1t)(2t特征函数推论2若随机变量X的特征函数在R上绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密度为)(tdttexfjtx)(φ2π1)(反演公式注对于连续型随机变量X，概率密度与特征函数互为富氏变换.dxxfetjtx)()(φ因特征函数2.1,0,,kkXPpk则推论3随机变量X是离散型的,其分布律为kjktkRtept.,)(φππ)(φ2π1dtteptkjk反演公式,Ns证设有ππππ)(φekjtsjktktsjdteepdtt特征函数ππππ)(02eskksskjtkspdtpdtpππ.)(φ2π1dttepjtss.0eππ)(dtskskjt时其中当Ex.9随机变量X在[]上服从均匀分布,Y=cosX,利用特征函数求Y的概率密度.,2π2π特征函数解X的概率密度为.0,]2π,2π[,π1)(其它xxfY的特征函数为)()()(cosXjtjtYYeEeEt2π2π2π0coscos2π1dxedxexjtxjt令dxuxdxduxu21sin,cos102112)(duuettujY特征函数根据特征函数与分布函数的惟一性定理,知随机变量Y的概率密度为.0.1;0,11π2)(2其它yyyfYEx.10已知随机变量X的特征函数为Rttt,cos)(φ2试求X的概率分布.特征函数解因根据特征函数的惟一性定理,知随机变量X的分布律为22)2(cos)(jtjteettjtjtee22412141}2{}0{}2{202XPeXPeXPejtjtjtX202p1/41/21/4特征函数四．多维随机变量的特征函数定义5.4二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为]e[),(φ)(2121YtXtjEtt),()(21yxdFeytxtj连续型dxdyyxfettytxtj),(),(φ2121注多维随机变量的特征函数定义见P247.特征函数rssrytxtjpettr,)(21s21),(φ离散型例(X,Y)服从二维正态分布]2[21)(2222212121212211ttttttje);,;,(222211N则其特征函数为dxdyyxettytxtj),(),(φ2121特征函数性质5.5二维随机变量(X,Y)的特征函数满足以下性质1.对任意t1,t2∈R,有,1)0,0(φ.1)0,0(φ),(φ21tt2..),(φ),(φ2121tttt3.在实平面上一致连续.),(φ21tt4.).(φ),0(φ),(φ)0,(φ2211ttttYX特征函数性质5.6设二维随机变量(X,Y)的特征函数为则),,(φ21tt1.随机变量的特征函数为),(2211bYabXa),(φ22112211)(tataebtbtj2.Z=aX+bY+c的特征函数为.),,(φ)(φRtbtatetjtcZ),(φ)(φtttYX特别有特征函数]e[][)(φbYaXjtjtccbYaXjtZEeeEt证][)()(YbtjXatjjtceEe).,(φbtatEjtcEx.11设(X1,X2)服从二维正态分布,且E(Xk)=k,k=1,2.记1,2.,,,),(ovjkjkXXCKjkij求Y=X1+X2的特征函数.特征函数),(φ21,21ttXX解)4322(21)2(22212121ttttttje]2[21)(2222212121212211ttttttje),(φ)(21,tttXXY263ttjeRtettj,e212213故Y=X1+X2～N(3,12).特征函数性质5.7分布函数与恒等的充分必要条件是它们的特征函数与恒等.),(211xxF),(212xxF),(φ211tt),(φ211tt.定理5.3随机向量相互独立的充要条件是其特征函数满足nXXX,,,21),,,(φ21nttt)(φ1kXnktk证明参见P249.在上式中特别取ti=t，i=1,2,…,n,有特征函数)(φ1tkXnk][),,,(φ)(1ntXtXjeEttt][)(1nXXtjeE)(φ1tnkkX推论1设随机变量相互独立,令,则Y的特征函数为nXXX,,,21nkkXY1)(φ)(φ1ttkXnkY注意：定理5.3与推论1的区别？练习：X~U(0,1),P{Y=0}=P{Y=1}=1/2,X,Y相互独立，试确定X+Y的分布？特征函数nXXnkYtttk])(φ[)(φ)(φ1Ex.12随机变量Y～B(n,p),写出其特征函数.解二项分布随机变量Y可表示为nkkXY1且Xk～B(1,p),(k=1,2,…,n)相互独立,故Y的特征函数为nitXnkYpeqttk)()(φ)(φ1推论2若随机变量相互独立同分布,则的特征函数为nXXX,,,21nkkXY1特征函数Ex.13若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明也服从N(0,1)分布.nkkXnY1122)(tket证Xk的特征函数为,则RtettntXnkXknkk,)(φ)(φ2121RtentttXnkk,)(φ)(φ2Y21从而由惟一性定理知,Y～N(0,1).