弹性力学平面应力问题和平面应变问题

弹性力学朱明礼[e-mail]第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面应力问题和平面应变问题弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1平面应力问题和平面应变问题弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；zyxf,,yxf,平面应力第二章平面应力问题和平面应变问题xyxyyzzxzxyxyyzzxxzzyyxzij=xyxyyzzxxzzyyxzij=,,u第二章平面应力问题和平面应变问题xzxzzxxyxyyxij=xyxyyxij=,u第二章平面应力问题和平面应变问题两类特殊问题1、平面应力问题yxyzt/2t/2第二章平面应力问题和平面应变问题（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：第一种：平面应力问题平面应力（1）等厚度的薄板；第二章平面应力问题和平面应变问题坐标系如图选择。平面应力第二章平面应力问题和平面应变问题简化为平面应力问题：故只有平面应力存在。0,,2δzzyzxzττσ(在V中),0,,zyzxzττσ由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。yxf,平面应力xyyxσσ,,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。yxf,xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：Fyfyf第二章平面应力问题和平面应变问题因表面无任何面力，0,0yxff即：.0,,zyzxzσ平面应力.0,,zyzxzσAB例题1：试分析AB薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第二章平面应力问题和平面应变问题第二种：平面应变问题纵向轴压力管道纵向轴水坝第二章平面应力问题和平面应变问题（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。第二章平面应力问题和平面应变问题坐标系选择如图：平面应变oxzyozxy对称面zy第二章平面应力问题和平面应变问题故任何z面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有;,0u,vw（平面应变问题）只有.,,,0,0,,00xyyxzyzxzyzxzττεw平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：第二章平面应力问题和平面应变问题（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。yxf,z平面应变第二章平面应力问题和平面应变问题所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变yxf,xyyxγεε,,第二章平面应力问题和平面应变问题例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox第二章平面应力问题和平面应变问题且仅为。故只有，本题中：0,,0zyzxz平面应变yxf,xyyxγεε,,oxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。.0,zyzx第二章平面应力问题和平面应变问题§2－2平衡微分方程定义平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。第二章平面应力问题和平面应变问题在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：体力：。1ddyxyxff,定义应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。第二章平面应力问题和平面应变问题应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。第二章平面应力问题和平面应变问题列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题其中一阶微量抵消，并除以得：.01dd1d1)dd(1d1)dd(,0yxfxxyyyσyxxσσFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxσfxy0yF0.(b)yxyyσfyx，同理可得：平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题,0cM当时，得切应力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx平衡条件第二章平面应力问题和平面应变问题⑵适用的条件--连续性，小变形；xy说明对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。第二章平面应力问题和平面应变问题理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。VVVd说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。第二章平面应力问题和平面应变问题当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。VV说明Vd所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。第二章平面应力问题和平面应变问题理力（V）材力（）弹力（）bxhVd1dddyxVhVdxdydx第二章平面应力问题和平面应变问题思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？0cM0M第二章平面应力问题和平面应变问题已知坐标面上应力，求斜面上的应力。问题的提出：§2－3平面问题中一点的应力状态问题xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题求解：取出一个三角形微分体（包含面，面，面），边长).,(),,(nnyxσppppn.,,mdsPAldsPBdsAB问题xy斜面应力表示：35yxxxyyxyxyyxyxPyxyyxxAPBppxpyτNσNn2、平面问题中一点的应力状态几何参数：,),cos(,),cos(myNlxN设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds。斜面上应力分解为：xyppp02/ldsmdsfmdsldsdspXxxyxx由∑Y=0得：（2-3）mlpxyxxlmpxyyy第二章平面应力问题和平面应变问题由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）(a)xpyp,,xyyyyxxxlτmσpmτlσp斜面应力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。372、平面问题中一点的应力状态yxxxyyxyxyyxyxPyxyyxxAPBppxpy斜面上应力分解为：NNpτNσNyxNmplpxyyxNlmml222)32(xyNmplpxyxyNmllm)()(22)32(（2-4）（2-5）已知P点应力σxσyτxy可求出过P点任意斜面上的•正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）•应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）n第二章平面应力问题和平面应变问题(2)求（）将向法向，切向投影，得nnτσ,),(yxppp22222,(b)()().nxyxyxynyxyxxyσlpmplσmσlmlpmplmσσlm斜面应力39主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平主平面上的应力叫主应力。pxpyyxyxyyxxAPBnlpxmpyxxxyplmyyxypmlmllxyxlmmxyymllxyxlmmxyyxyxlmyxylmxyxyxyσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0222212xyyxyx第二章平面应力问题和平面应变问题设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:,0,nnτσσ(3)求主应力斜面应力.tan,222112221xyxyyxyxσσσσ(c)41主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面上的应力叫主应力。pxpyyxyxyyxxAPBn222212xyyxyx注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在两个主应力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。④最大剪应力所在平面与主平面相交45°，其值为⑤主平面上剪应力等于零，但τmax作用面上正应力一般不为零。而是：2221max22xyyx2yx第二章平面应力问题和平面应变问题将x，y放在方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设）21,σσ21σσ.45,2,2121的斜面上应力成发生在与主σσσσσnmaxminnmaxmin(4)求最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)第二章平面应力问题和平面应变问题几何方程─表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。§2－4几何方程刚体位移定义第二章平面应力问题和平面应变问题变形前位置：变形后位置：－－各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段,,dyPBdxPA,,,PAB定义,,PAB第二章平面应力问题和平面应变问题32sin,3!cos11,2!tan.应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。当很小时，假定46几何方程刚体位移yxPABP´A´B´uvdxxuudxxvvdyyvvdyyuuPA=dx,PB=dyPA正应变:xudxudxxuuxPB正应变:yvyαβxvdxvdxxvvyuyuxvxy,xux,yvyyuxvxy………（2-8）几何方程：对两种平面问题都适用。第二章平面应力问题和平面应变问题().xuudxuuxdxx.yvy假定由位移求形变：PA线应变PA转角PB线应变PB转角同理，tan.vdxvxdxxyu第二章平面应力问题和平面应变问题⑴适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：.,,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程为：说明⑶适用条件：a.连续性；b.小变形。⑵应用小变形假定，略去了高阶小量线性的几何方程；第二章平面应力问题和平面应变问题⑷几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。⑸形变和位移之间的关系：位移确定形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。说明从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。第二章平面应力问题和平面应变问题从物理概念看，，确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定：形变与位移的关系第二章平面应力问题和平