矩阵论论文

研究生课程论文/研究报告课程名称：矩阵论任课教师：论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日学科：学号：姓名：成绩：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解摘要我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R、L、C分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程：()()()()ditLRituctutdt1()()itdtuctC其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。u(t)RLCuc(t)i(t)图1将上式方程组改写成状态空间表达式为：()11()()1()()00ditRitdtLLutLductuctCdt①如将电容上的电压uc作为电路的输出量，则()()01()ituctuct②令x=()()ituct,u=u(t),y=uc(t),A=110RLLC,b=10L,C=01,则上面方程改写成如下：x、=Ax+bu③y=Cx④其中x为2维的状态变量；u为标量输入；y为标量输出；A为2X2系数矩阵；b为2X1输入矩阵；C为1X2输出矩阵。式①②或式③④为上图所示电路系统的状态方程。将上面分析结果推广到一般情况如下图2所示：状态方程输出方程………u1u2urx1x2xny1y2yn图2X为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量，即12xxxxn，u=12uuur，y=12yyym则系统方程为x`=Ax+Bu⑤;y=Cx+Du⑥,其中A为nXn系数矩阵；B为nXr输入矩阵；C为mXn输出矩阵；D为mXr直接传输矩阵，即1111nnnnaaAaa；1111rnnrbbBbb；1111nmmnccCcc；1111rmddDddmr。上式⑤⑥中矩阵A、B、C、D的诸元素是实常数时则称这样的系统为线性定常系统或线性时不变系统。如果这些元素是时间t的函数，即x、=A(t)x+B(t)u;y=C(t)x+D(t)u,则称系统为线性时变系统。对于线性定常系统⑤⑥表达式进行拉普拉斯变换得:sx(t)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)[sI-A]x(s)=Bu(s)+x(0)如果[sI-A]存在，则x(s)=[sI-A]-1Bu(s)+[sI-A]-1x(0)若x(0)=0则有x(s)=[sI-A]-1Bu(s)=Gxu(s)u(s)，则Gxu(s)=[sI-A]-1B=[]det[]adjsIABsIA式中，Gxu(s)为状态变量对输入变量传递函数矩阵。y(s)=Cx(s)+Du(s)=C[sI-A]-1Bu(s)+Du(s)={C[sI-A]-1B+D}u（s）=Gyu(s)u(s)得Gyu(s)=C[sI-A]-1B+D=[]det[]adjsIACBDsIA式中Gyu(s)为系统输出向量对输入向量的传递函数矩阵，简称传递函数矩阵。其结构为：Gyu(s)=1111()()()()rmmrgsgsgsgs式中gij(s)表示只有第j输入作用时第i个输出量yi(s)对第j个输入量uj(s)的传递函数（i=1,2,…,m;j=1,2,…,r）。二、线性定常系统状态方程的解在⑤中令u=0便得线性定常系统齐次状态方程x、=Ax其中x为n维状态向量；A为nxn系数矩阵。设初始时刻t0=0,系统的初始状态x(t0)=x(0)。解得x(t)=(I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…)x(0)⑦上式右边括号内的级数是nxn矩阵指数函数，记为eAt,即eAt=I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…[1]故⑦式可写成x(t)=eAtx(0)如果初始时刻t0≠0,初始状态为x(t0),则齐次状态方程的解为x(t)=eA(t-t0)x(t0)由此式可知系统在状态空间任一时刻的状态x(t),可视为系统的初始状态x(t0)通过矩阵指数函数eA(t-t0)的转移而得到。因此矩阵指数函数eA(t-t0)状态转移矩阵，记为Φ（t-t0）。Φ（t）=eAt=I+At+2212!At+…+1!kkAtk+…可通过线性变换计算Φ（t）⑴矩阵A经线性变换化为对角矩阵Λ，计算Φ（t）[2]当矩阵A的n个特征值互异或矩阵A虽有重特征值但仍有n个独立的特征值向量时，经线性变换，将A化为对角矩阵Λ即PAP-1=Λ=100n此时状态转移矩阵eΛt=I+Λ+2212!t+…=100tntee由于A=P-1ΛP故矩阵A的状态转移矩阵Φ（t）=eAt=ep-1Λpt=P-1[I+Λt+2212!t+…]P=P-1eΛtP⑵矩阵A经线性变换化为约当形矩阵J，计算Φ（t）[2]当矩阵A的n个特征值均相同，且为λ1，经过线性变换，可化为约当型矩阵JPAP-1=J=11100n则eJt=111(1)!0nitn系统状态转移矩阵为Φ（t）=eAt=P-1eJtP求解到了eAt就很容易求得线性定常系统齐次状态方程的解，即x(t)=eAtx(0)，而线性定常系统非齐次状态方程的解为x(t)=Φ（t）x(0)+0()()ttBud式中Φ（t）为系统状态转移矩阵，从而用以上方法便求得线性定常系统的解。三、总结本文主要采用了矩阵论中的矩阵初等计算，对角矩阵，约当型，矩阵函数等解决了线性定常系统建模和求解问题，使得设计和分析系统简单明了，方向性强，且有了数学依据。四、参考文献[1]《矩阵论》(第3版)程云鹏张凯院徐仲编著西北工业大学出版社[2]《现代控制理论基础》（第2版）王孝武主编机械工业出版社出版