自动控制原理的采样控制系统分析与设计

第8章采样控制系统的分析与设计8-1引言8-2信号的采样与复现8-3Z变换与Z反变换8-4脉冲传递函数8-5采样系统的分析8-6最少拍采样系统的校正8-1引言•前面各章分析了连续控制系统，这些系统中的变量是时间上连续的；•随着被控系统复杂性的提高，对控制器的要求也越来越高，控制的成本随着数学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；•随着数字元件,特别是数字计算机技术的迅速发展，采样控制系统得到了广泛的应用；•在采样控制系统中,有一处或多处的信号不是连续信号,而在时间上是离散的脉冲序列或数码,这种信号称为采样信号。典型的采样系统计算机直接数字控制系统•上面控制系统框图•实际控制系统中是不存在采样开关的。•计算机控制系统的优点：1、有利于实现系统的高精度控制；2、数字信号传输有利于抗干扰；3、可以完成复杂的控制算法，而且参数修改容易；4、除了采用计算机进行控制外，还可以进行显示，报警等其它功能；5、易于实现远程或网络控制。•采样控制系统也是一类动态系统；•该系统的性能也和连续系统一样可以分为动态和稳态两部分；•这类系统的分析也可以借鉴连续系统中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；•采样系统的分析可以采用Z变换方法，也可以采用状态空间分析方法。8-2信号的采样与复现1、采样：把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样；2、采样器：实现采样的装置，又名采样开关；3、复现：将采样后的采样信号恢复为原来的连续信号的过程；4、采样方式：（1）等周期采样：（2）多阶采样：采样是周期性重复的（3）多速采样：有两个以上不同采样周期的采样开关对信号同时进行采样（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律•一个连续信号经采样开关变成了采样信号•采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和系统的时间常数•可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可得采样后的采样信号为1、信号的采样过程)()()(*tteteTtet0teTte*0te*t0TT2*ett0TT2是理想脉冲出现的时刻因此采样信号只在脉冲出现的瞬间才有数值，于是采样信号变为因此采样过程可以看作一个调制过程。kkTtt)()(kTkkTtkTete)()()(*0tTtTT2T3T4T5采样信号的调制过程•考虑到时，因此，可以将原来采样信号表达式变为如下形式：0t0)(te0*)()()(kkTtkTete将窄脉冲看作理想脉冲的条件是采样持续时间远远小于采样周期和被控对象的时间常数2、采样定理•由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，采样后的信号•取该信号的拉氏变换,并令:*1()sjktketeteT说明采样后信号频谱是以s为周期的。采样时间满足什么条件？才能复现原信号！*1(j)jjskEEkTjs•连续信号在时域上是连续的，但频域中的频谱是孤立的；•连续信号采样之后，具有以采样角频率为周期的无限多个频谱。s采样信号的频谱a)jEmaxmaxc)(maxs2)j*Emaxmaxsb)(maxs2)2s*jEmaxmaxmax2s1K1K0K1EsT•采样定理：为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原连续信号所含的最高频率的两倍，这样方可通过适当的理想滤波器把原信号毫无畸变的复现出来。•香农定理的物理意义是：满足香农定理的采样信号中含有连续信号的信息，该信息可以通过具有低通滤波特性的滤波器复现出来。max2s3、零阶保持器•保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将采样信号恢复成连续信号。•理想滤波器可以将采样信号恢复成连续信号；•理想滤波器是物理上不可实现的，因此要寻找一种物理上可实现，特性上又接近于理想滤波器的设备——保持器。•采样信号只在采样点上有定义,e*(KT)和e*((K+1)T)都是有定义的,但是在这两者之间的时间段上连续信号应该是什么样子呢?•这就是保持器要解决的问题.•保持器是一种时域外推装置，即将过去时刻或现在时刻的采样值进行外推。•通常把按照常数、线性函数和抛物线函数外推的保持器称为零阶、一阶和二阶保持器。•如果取•则当前时刻的采样值将被保持到下一个采样时刻.•这种保持器称为零阶保持器.如何用数学语言描述这种特性呢?2012eKTtaatat,0eKTteKTtT•零阶保持器:把采样时刻KT的采样值不增不减地保持到下一个采样时刻（K＋1）T。零阶保持器的输入和输出信号sGhteTte*tehtet0a)b)c)teht0TT2T3T4te*t0TT2T3T4由于在采样时刻h,0,1,2ekTekTk故保持器的输出h011ketekTtkTtkTT拉氏变换为h11eeTskTskEsekTss零阶保持器的传递函数为hh*()1e()TsEsGsEss零阶保持器的传递函数为零阶保持器的频率特性为hh*()1e()TsEsGsEssjjj22j2hj2j21eeejej22jesin(/2)sine22/2TTTTTTTGTTTTTTT•零阶保持器的频率特性如图所示•零阶除了允许主频谱分量通过之外，还允许一部分附加高频分量通过。因此复现出的信号与原信号是有差别的。jhGss3s2T023jhGjhG4、小结•采样控制系统的结构；•计算机控制的采样系统的优点；•采样过程和采样定理；•零阶保持器的传函和特性。8-3Z变换与反变换•线性连续控制系统可用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。•对于线性采样控制系统则可用线性差分方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。•Z变换是研究采样系统主要的数学工具，由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号的拉普拉斯变换。•连续信号f（t）的拉普拉斯变换为•连续信号f（t）经过采样得到采样信号•f*（t）为•其拉普拉斯变换为•定义新的变量0)()(L)(dtetftfsFst0*)()()(kkTtkTftf0**)()()(kkTsekTftfLsFTsze采样信号的Z变换0*)()()(kkzkTftfZzF有1、常用的Z变换方法•级数求和法：将采样信号f*（t）展开如下对上式逐项进行拉普拉斯变换，得在一定条件下，常用函数的Z变换都能够写成闭合形式。*0()()()(0)()()()()()nftfnTtnTftfttTfnTtnT*1()(0)()()()(0)()()TsnTsnFsffTefnTeFzffTzfnTz【例1】求单位阶跃函数1（t）的Z变换。解：单位阶跃函数的采样脉冲序列为代入E(z)的级数表达式，得对上列级数求和，写成闭合形式，得1,(0,1,2)ekTkL1201e1kkkEzZtekTzzzLK11()11zEzzz•部分分式法1()niiiAFssp当连续信号是以拉普拉斯变换式F（S）的形式给出,且F（S）为有理函数时,可以展开成部分分式的形式，即可得与其对应的z变换为由此可得F（S）的z变换为iiAsp对应的时域表达式iptiAeiipTzAze1()inipTiAFzze【例2】已知，试求其Z变换.解将G（s）展开成部分分式其对应的时域表示式为两个时域信号的叠加1(1)Gsss11111EsGsssss1etet1e1e1e1eTtTTzzzEzZtzzzz•留数法设连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F（S）及其全部极点pi为已知，可利用留数法求其Z变换F(z)，即当s=pi为一阶极点时，其留数为当s=pj为q阶极点时，其留数为s=pi处的留数()iiipTzRresFpze式中为()sTzFszelim()()iiisTspzRspFsze111lim()()(1)!iqjiqsTspdzRspFsqdsze*11()[()]()inniiPTiizFzZftresFpRze【例】求f（t）=t的z变换[t0]在s=0处有二阶极点，f(t)的z变换F(z)为解：由于21()Fss2200()()(1)sTsTsTssdzzTeTzFzRdszezez2、Z变换基本定理1.线性定理若i为常数，则线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于各时域函数z变换的线性组合。1122EzZetaEzaEzL1122etaetaetL设有连续时间函数2.滞后定理设e(t)的z变换为E（z），且t＜0时，e(t)=0,则滞后定理说明，原函数在时域中延迟k个采样周期求z变换,相当于它的z变换乘以z-k。因此z-k可以表示时域中的滞后环节,它把采样信号延迟k个采样周期nZetnTzEztettetnT3.超前定理4.初值定理设函数e(t)的z变换为E(z)，则10nnkkZetnTzEzekTz0limlimtzetEz设e(t)的z变换为E(z)，而且存在，则0limtet5.终值定理6.复数位移定理1()limlim1tzeetzEz设函数e(t)的z变换为E(z)，且在z平面上的以原点为圆心的单位圆上和圆外均没有极点，则1zEzeeatatZetEzm设函数e(t)的z变换为E(z)，则3、Z反变换由E(z)求e*(t)过程称为z反变换，表示为1etZEz由于z变换只表征连续函数在采样时刻的特性,并不反映采样时刻之间的特性,因此z反变换只能求出采样函数e*(t),不能求出其连续函数e(t)。即有1ZEzetet常用的Z反变换方法1、长除法将E(z)的分子、分母多项式按z的降幂形式排列,用分子多项式除以分母多项式,可得到E(z)关于z-1的无穷级数形式,在根据延迟定理得到e*(t)。1010()kkkkkEzeezezezLL对上式求z反变换,得*0()()kketetkT2、部分分式法将E(z)/z展开成部分分式。由于在E(z)式中,分子表达式中通常含有z。得到部分分式后,再将z乘到各部分分式的分子部分,再查表进行反变换即可,所以也称为查表法。【例3】求的z反变换。解将E(z)/z展开成部分分式为则对应的时间函数e*(t)为1012zEzzz1010101212Ezzzzzz则有101012zzEzzz010eteteTtTL010302703tTtTtTL3.留数法由z变换的定义有用zm-1乘上式两端,得根据复变函数理论,知0kkEzekTz110mmkkEzzekTz1111dRe2jiPmkizzekTEzzzekTsEzzÑ当z=pi为单极点时，其留数为当z=pj为n重极点时，其留数为11Resli