第八章----计算机采样控制系统

第八章计算机采样控制系统第八章计算机采样控制系统§8.2信号的采样与保持§8.6采样控制系统的设计§8.1概述§8.3Z变换和Z反变换§8.4采样控制系统的数学模型§8.5采样系统的性能分析第八章计算机采样控制系统§8-1概述离散信号：离散系统中的一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列。离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号，相应的离散系统称为采样系统。计算机采样控制系统如图8-1所示。A/D数字控制器D/A被控对象测量元件数字计算机)(tr-)(te)(te)(tu)(tuh)(tc图8-1计算机采样控制系统定义第八章计算机采样控制系统§8-1概述在分析采样控制系统时，把A/D和D/A的工作过程理想化，即认为A/D转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号；而D/A转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。于是，图8-1中的计算机采样控制系统就可以用图8-2的结构图来表示。数字控制器被控对象测量元件)(tr-)(te)(te)(tu)(tuh)(tc保持器TT图8-2采样控制系统结构图第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持一、采样过程采样过程：就是按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的脉冲序列的过程。采样器（采样开关）：用来实现采样过程的装置，可以用一个按一定周期闭合的开关来表示，其采样周期为T，每次闭合时间为ε，如图8-3所示。e(t)0te*(t)T0tT图8-3模拟信号的采样理想的采样器相当于一个理想的单位脉冲序列发生器第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持e*(t)0t0tT(t)0te(t)调制器e(t)e*(t)T(t)单位脉冲序列--kkTtt)()(T----kkTkTtkTekTttettete)()()()()()()(-0e)()]([)(kkTskTeteLsE由此看出采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号)(te可表示为两个函数的乘积，其中载波信号)(Tt决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号)(kTe决定。第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持二、采样定理(1)采样后信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系)(Tt是一个以T为周期的函数，可以展开为傅立叶级数，其复数形式为：-ktksAtjnTe)(-ktkTsteTtteteje)(1)()()(-ksksETsE)j(1)(上式反映了采样函数的拉氏变换式)(sE和连续函数拉氏变换式)(sE之间的关系，这表明)(sE是s的周期性函数。第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持(2)采样定理js代入上式得用))(j(1)j(skkETE-根据采样频率s的大小，)j(E可能有两种情况：一种是maxs2，采样信号的频谱不会发生重迭，如图8-6a所示。另一种是maxs2的情况下，采样信号的频谱发生重迭，如图8-6b所示。)j(*E2s-2s23s-23s0)j(*E2s-2s23s-23s0图8-6离散信号频谱a)b)第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，即：maxs2香农(Shannon)采样定理号的信息，可无失真地恢复为原来的连续信号。只有当时，采样后的离散信号才能保持原连续信maxs2第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持三、保持器保持器(Holder)：采用时域外推原理的装置。1．零阶保持器概念零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值)(kTe恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻Tk)1(。)(*te0TT2T3T4t零阶保持器)(*te)(hte)(hteTT2T3T4t2T0图8-7零阶保持器的输入和输出信号第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持2．零阶保持器的传递函数0Tt1)(htgT1)(htg1-t0图8-8零阶保持器的单位脉冲响应由图可见：)(1)(1)(hTtttg--从而零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为stgLsGTs--e1)]([)(hh此即是零阶保持器的传递函数。第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持3．零阶保持器的频率特性)j()j()cos1(jsinje1)j(hhjhGGTTGT----幅频特性为22hsin(1cos)sin(/2)(j)/2TTTGTT-相频特性为22tanarctansin)cos1(arctan)j(hTTTTG----第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持零阶保持器的幅频特性如图8-9所示)j(hG0ss2s3图8-9零阶保持器的幅频特性由图8-9可见，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。第八章计算机采样控制系统§8-2信号的采样与保持4．零阶保持器的实现零阶保持器已做成集成电路芯片，如DAC0832，DAC1230等D/A转换器就是零阶保持器。第八章计算机采样控制系统§8-3Z变换和Z反变换一、Z变换1．Z变换的定义-0)()()](*[kkzkTfzFtfZ其中Tsze，上式被定义为采样函数)(tf的Z变换，记为)(zF。通常把采样周期T当作一个单位，并将)(kTf简记为)(kf，这样，采样序列的Z变换即定义为-0)()]([)](*[)(kkzkfkfZtfZzFZ变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻之间的特性。Z变换实质上是指经过采样后的Z变换。)(tf第八章计算机采样控制系统§8-3Z变换和Z反变换2．求Z变换的方法(1)级数求和法：根据Z变换定义求得。例8-1求单位阶跃函数的Z变换解单位阶跃函数在各个采样时刻的值均为1，即1)(1kT，k=0,1,2,…，则11111111)](1[1210-------zzzzzzztZnkk11-z，即1z时，级数收敛。例8-2求指数函数at-e的Z变换解根据定义可得aTaTnnaTaTaTkkakTatzzzzzzzZ--------------ee11eee1e]e[12210第八章计算机采样控制系统§8-3Z变换和Z反变换1e1--zaT，即aTz-e时收敛。(2)部分分式法当连续函数)(tf的拉氏变换)(sF为s的有理函数，可以展开成部分分式，即-niiipsasF1)(相应于)(sF的Z变换为---niniTpiTpizazzatfZzFii111e1e)]([)(例8-3设连续函数)(tf的拉氏变换为)()(assasF，试求其Z变换。第八章计算机采样控制系统§8-3Z变换和Z反变换)e)(1()e1()e1)(1()e1(e1111)(11111aTaTaTaTaTzzzzzzzzzF-------------------(3)留数计算法niiRtfZzF1)]([)(式中，iR为sTezzsF-)(在ips时的留数，其留数求法为：解因为assassasF-11)()(，由拉氏反变换知，attf--e1)(，故由例8-1和例8-2可知：第八章计算机采样控制系统常用函数的Z变换表第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型要对采样控制系统进行分析研究，首先要建立它的数学模型。和连续定常系统中相类似，对于线性采样系统的数学模型可以是差分方程、Z传递函数或状态变量表达式等。一、差分方程如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动方程，如下所示：)()()()(n1n)1(1)(kyckyckyckynn--)()()()(n1n)1(1)(0krdkrdkrdkrdmm--第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型或)()()()(n1n)1(1)(kyckyckyckynn--)()()()(n1n)1(1)(0krdkrdkrdkrdmm--)(),()()(krkyji)m,,1,0;n,,1,0(ji输入信号的各阶前向差分分别表示输出)()(kyi)()(krj表示输出、输入信号的各阶后向差分。以输出为例的各阶差分如下：第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型一阶前向差分为：)()1()(kykyky-二阶前向差分为：)()1(2)2()]()1([)]([)(2kykykykykykyky--n阶前向差分为：-)]([)()1(kykynn一阶后向差分为：)1()()(--kykyky二阶后向差分为：)2()1(2)()]1()([)]([)(2-----kykykykykykykyn阶后向差分为：-)]([)()1(kykynn第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型从而得到相应的系统前向差分方程和后向差分方程如下：)()1()1()(n1n1kyakyankyanky--)()1()1()(m1m10krbkrbmkrbmkrb--前向差分方程后向差分方程)()1()1()(n1n1nkyankyakyaky----)()1()1()(m1m10mkrbmkrbkrbkrb----其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值之差。第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型(一)脉冲传递函数的概念1．定义如前所述，线性定常离散控制系统的差分方程的一般形式为)()()()1()(m0n1krbmkrbkcankcankc-或)()()()1()(m0n1nkrbmnkrbnkcakcakc----其中，n≥m，这说明当前的输出只与过去的输入输出数据有关，这是符合系统的物理意义的。对上面式子取Z变换，并假设初始条件为零，则可以得到一、脉冲传递函数第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型nmmnnnmmzazazbzbbzazazbzbzbzRzCzG--------n11m110)(n11m1101)()()()(线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出信号序列的Z变换与输入信号序列的Z变换之比，即为系统的脉冲传递函数，或者叫Z传递函数。)(mnz--表示了输出迟后于输入n-m个采样周期。2．物理意义假设k=0时，在系统输入端施加单位脉冲信号，则定义系统的输出响应序列叫做单位脉冲响应序列g(k)，即有)(t)]([)(kgZzC而)()(*ttr1)(zR故)()()()(zGzRzGzC因此-0)()]([)(kkzkTgkgZzG)(t第八章计算机采样控制系统§8.4采样控制系统的数学模型可见，脉冲传递函数就是单位脉冲响应序列的Z变换，这就是脉冲传递函数的物理意义。由上式也可以看出，系统响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)越快衰减到零，则相应的脉冲传递函数G(z)的展开式中包含的项数越少。3．脉冲传递函数的基本求法(1)若已知系统连续部分的传递函数G(s)或脉冲响应函g(