导数的应用-函数极值与最值

函数的极值及其求法最大值最小值问题第五节函数的极值与最大值最小值定义,0的某邻域内若在x)),()((0xfxf或的一个为函数则称)()(0xfxf)()(0xfxf极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.恒有一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0称为1x2x3x4x5x6x函数的极大值、极小值是局部性的.在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的xyOab)(xfy观察极值点的切线有什么特征？平行于x轴切线平行于x轴是否必为极值点？定理1(必要条件)注如,,3xy,00xy.0不是极值点但x(1)处取得在点如果函数0)(xxf,0处可导且在x可导函数的极值点驻点却不一定是极值点.但函数的2.极值的必要条件必是驻点,.0)(0xf则必有极值,3xyxyOxyO32xy极值点也可能是导数不存在的点.如,,32xy32xy但怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点(2)不可导.0x是极小值点.是不是极值点0x在即：极值点可能在两类点中取到：一阶导数零点；一阶导数不存在的点.拐点可能在两类点中取到：二阶导数零点；二阶导数不存在的点.定理2(第一充分条件)且在点连续在设,)(0xxf,),()1(00时若当xxx0)(xf);0(,),(00时当xxx0)(xf),0(则)(0xf为极大值,)()2(0附近不变号在若xxf)(0xf则不是极值.(极小值);3.极值的充分条件xyO0xxyO0x.),(0o0内可导的某去心邻域xUx0x0x一般求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应点两侧的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点xyOxyO例解.)1()1()(323的极值及单调区间求xxxf322)1()1(3)(xxxf313)1()1(32xx312)1(3)711()1(xxx(1)(2)驻点:,1x导数不存在的点:.117x.1x(3)列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.x)(xf)(xf),1(1)117,1(117)1,117(1)1,(0非极值极小值0)1(f极小值2.2)117(f极大值0不存在极大值驻点:,1x导数不存在的点:,117x.1x.)1()1()(323的极值及单调区间求xxxf)(xf312)1(3)711()1(xxx单调增加区间:).,1[,117,1],1,(单调减少区间:).1,117(定理3(第二充分条件)证,0)(0xf如果极大值(极小值).为则)(0xf0)(0xf),0(极值的二阶充分条件)(0xf,000)()(lim0xxxfxfxx0)(lim0xxxfxx因此,当||0xx充分小时,由极限的保号性.0)(0xxxf可见,)(xf与0xx异号.,0xx当;0)(xf,0xx当.0)(xf所以,.)(0处取极大值在点xxf第一充分条件对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.注,0)(0时xf(1)定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,,0)(0xf当,0)(0时xf可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,,)(41xxf,)(42xxf33)(xxf处在0x分别属于上述三种情况.(2)已经知道驻点未必是极值点，第二充分条件实际上指出了，二阶导不为零的驻点一定是极值点.例解.20243)(23的极值求xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f18)4(f故极大值,60)2(f18)2(f故极小值.48.2,421xx因为,,0,0例解.)2(1)(32的极值求xxf)2()2(32)(31xxxf,2时当x时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf1)2(f.)(在该点连续但函数xf.)(不存在xf32)2(1)(xxf所以,.)(的极大值为xf第一充分条件xyO12极值判别法的两个充分条件第一充分条件对函数在点处是否可导没有要求，只要求在点的邻域内可导.第二充分条件则要求在该点处二阶可导.baabab二、最大值最小值问题1.最值的求法xyOxyOxyO已经知道，[a,b]上的连续函数必定存在最值.最值可能在以下点处取到：驻点端点不可导点(1)其中最大(小)者求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的区间端点的就是f(x)点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值f(a),f(b)比较,在闭区间[a,b]上的最大(小)值.上的在求函数]4,3[|23|)(2xxxf解)2,1(23]4,2[]1,3[23)(22xxxxxxxf,)4,3(内在驻点:,23x最大值与最小值.)2,1(32)4,2()1,3(32)(xxxxxf例在分段点x=1，x=2是否可导？)2,1(23]4,2[]1,3[23)(22xxxxxxxf在x=1处1)1()(lim1xfxfx10)23(lim21xxxx11)1()(lim1xfxfx10)23(lim21xxxx1所以x=1是不可导点.x=2是否可导？同理，x=2也是不可导点,)4,3(内在驻点:,23x2,1x,20)3(f,0)2(f,0)1(f,41)23(f最大值最小值,6)4(f不可导点：(2)对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最大(小)值.Ozyx例解hrV22目标函数,222Rhr由得,)(222hhRVRh0)3(222hRVhh2hrR2.应用举例(1)(2)求最大值点半径为R.求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点3Rh就是最大值点,最大体积为3)3(222RRRV3334R令,0hV得3Rh(舍去负值)唯一驻点)3(222hRVh(1)从实际问题中抽象出数学模型，写出其目标函数，从而转化为数学问题.具有实际问题背景的最值问题一般思路：注(2)从数学的角度分析最值可能的点，并结合实际背景，判断是否是最值点.例某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月x元，租出去的房子有每月总收入为)(xL)80(x4072050x720x套明显，x应该大于720.4050)(xL2070x0)(xL1400x（唯一驻点）40140068)801400()(xL)(43560元)(xL)80(x4072050x故每月每套租金为1400元时收入最高.最大收入为课下阅读材料：教材例4-例7.是非题极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？分清四类点：驻点—极值点—拐点—最值点.作业作业册本节全部课下练习教材本节1-9