《一次函数》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《一次函数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法），能利用图像数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为ykxb，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数ykxb即ykx（k≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数ykxb与函数ykx的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）解析式ykxb（k为常数，且0k）自变量取值范围全体实数图像形状过（0，b）和（bk，0）点的一条直线k、b的取值0k0k0b0b0b0b示意图位置经过一、二、三象限经过一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势从左向右上升从左向右下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小要点诠释：理解k、b对一次函数ykxb的图像和性质的影响：（1）k决定直线ykxb从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限．（2）两条直线1l：11ykxb和2l：22ykxb的位置关系可由其系数确定：12kk1l与2l相交；12kk，且12bb1l与2l平行；12kk，且12bb1l与2l重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线xa、直线yb不是一次函数的图像.要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x、y的一元一次方程axb＝0（a≠0）的解x为何值时，函数yaxb的值为0？确定直线yaxb与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标求关于x、y的二元一次方程组1122，．yaxbyaxb的解．x为何值时，函数11yaxb与函数22yaxb的值相等？确定直线11yaxb与直线22yaxb的交点的坐标求关于x的一元一次不等式axb＞0（a≠0）的解集x为何值时，函数yaxb的值大于0？确定直线yaxb在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（）Ａ.变量,xy满足23xy，则y是x的函数；Ｂ.变量,xy满足xy||，则y是x的函数；Ｃ.变量,xy满足xy2，则y是x的函数；Ｄ.变量,xy满足221yx，则y是x的函数.【答案】A；【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的x的值，都有两个y值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的.举一反三：【变式】如图的四个图像中，不表示某一函数图像的是（）【答案】B；2、求函数的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.【答案与解析】解：要使函数有意义，则x要符合：2101xx即：或解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x的集合.举一反三：【变式】求出下列函数中自变量x的取值范围（1）01xyx（2）|2|23xxy（3）2332yxx【答案】解：（1）要使01xyx有意义，需010xx，解得x≠0且x≠－1；（2）要使|2|23xxy有意义，需32020xx，解得223xx且；（3）要使2332yxx有意义，需230320xx，解得32x.类型二、一次函数的解析式3、已知y与2x成正比例关系，且其图像过点(3，3)，试确定y与x的函数关系，并画出其图像．【思路点拨】y与2x成正比例关系，即(2)ykx，将点(3，3)代入求得函数关系式.【答案与解析】解：设(2)ykx，由于图像过点(3，3)知3k，故3(2)36yxx．其图像为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y与x成正比例满足关系式ykx，y与x－2成正比例满足关系式(2)ykx，注意区别.举一反三：【变式】直线ykxb平行于直线21yx，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式.【答案】解：∵直线ykxb平行于直线21yx∴2k∵与x轴交于点（2，0）∴①将k＝2代入①，得4b∴此直线解析式为24yx.类型三、一次函数的图像和性质4、已知正比例函数ykx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数yxk的图像大致是图中的（）．【答案】B；【解析】∵y随x的增大而减小，∴k＜0．∵yxk中x的系数为1＞0，k＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图像和性质，k＞0时，函数值随自变量x的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数21ymx的图像上两点A(1x,1y),B(2x,2y)，当12xx时,有12yy,那么m的取值范围是()A．12mB．12mC．2mD．0m【答案】A；提示：由题意y随着x的增大而减小，所以210m，选A答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、如图，平面直角坐标系中画出了函数ykxb的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数22yx的图像．（3）求x的取值范围，使函数ykxb的函数值大于函数22yx的函数值．【思路点拨】（3）画出函数图像后比较，要使函数ykxb的函数值大于函数22yx的函数值，需ykxb的图像在22yx图像的上方.【答案与解析】解：（1）∵直线ykxb经过点（－2，0），（0，2）．∴解得∴2yx．（2）22yx经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当ykxb的函数值大于22yx的函数值时，也就是222xx，解得x＞0，即x的取值范围为x＞0．【总结升华】函数图像在上方函数值比函数图像在下方函数值大.举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+b≤5的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，把y=5代入y=2x﹣1解得，x=3，∴当x≤3时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．（2）∵当0≤x≤12时，y=x；当x＞12时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y=．（3）∵x=26＞12，∴把x=26代入y=2.5x﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费47元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线1l的解析表达式为33yx，且1l与x轴交于点D，直线2l经过A、B两点，直线1l、2l交于点C．(1)求点D的坐标；(2)求直线2l的解析表达式；(3)求△ADC的面积；(4)在直线2l上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【答案与解析】解：(1)由33yx，当y＝0，得33x＝0，得x＝l．∴D(1，0)．(2)设直线2l的解析表达式为ykxb，由图像知，4x，0y；3x，32y．将这两组值代入，得方程组40,33.2kbkb解得3,26.kb∴直线2l的解析表达式为362yx．(3)∵点C是直线1l与2l的交点，于是有33,36.2yxyx解得2,3.xy∴C(2，－3)．∴△ADC的AD边上的高为3．∵OD＝1，OA＝4，∴AD＝3．∴ADC193|3|22S△．(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图像与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．