三角恒等变换专题复习(带答案)

1三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题【基础知识】一、同角的三大关系：①倒数关系tan•cot=1②商数关系sincos=tan；cossin=cot③平方关系22sincos1温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号。二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成,2kkz的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角2k在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间00(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。三、和角与差角公式：sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan变用tan±tan=tan(±)(1tantan)四、二倍角公式：sin2=2sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan2五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()coscossinsin推导出来。六、注意公式的顺用、逆用、变用。如：逆用sincoscossinsin()1sincossin22变用22cos1cos222cos1sin221cos4cos22七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan．八、万能公式2tan1tan22sin22tan1tan12cos2tan1tan22tan九、用sin，cos表示2tansincos1cos1sin2tan十、积化和差与和差化积积化和差)]sin()[sin(cossin；)]sin()[sin(sincos；)]cos()[cos(coscos；)]cos()[cos(sinsin.和差化积2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos十一、方法总结31、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α－β2)－(α2－β)等.（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sincostan,cotcossin），（3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.③比较法,即设法证明:左边－右边=0或左右=1;④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例1已知为第四象限角，化简：cos1cos1sinsin1sin1cos解：（1）因为为第四象限角所以原式=2222cos1)cos1(sinsin1)sin1(cossincoscos1sin1sincos1sincossin1cos例2已知360270，化简2cos21212121解：360270，02cos,0cos所以原式=2111cos211cos2222221coscoscos222例3tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=00020cos40sin220sin=0000sin(6040)2sin40cos200000033cos40sin403cos20223cos20cos204例4（05天津）已知727sin(),cos241025，求sin及tan()3．解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722故51sincos②由①和②式得53sin，54cos因此，43tan，由两角和的正切公式11325483343344331433tan313tan)3tan(解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得2sin212cos257，解得259sin2，即53sin由1027)4sin(可得57cossin由于0cos57sin，且057sincos，故在第二象限于是53sin，从而5457sincos以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例5已知,,ABC为锐角ABC的三个内角，两向量(22sin,cossin)pAAA，(sincos,qAA1sin)A，若p与q是共线向量.（1）求A的大小；（2）求函数232sincos()2CByB取最大值时，B的大小.解：（1）22//2(1)(1+)-pqsinAsinAsinAcosA22220120cosAcosAcosA1cos2A202A，002A120A=60（2）00A=60B+C=1202013y=2sinB+cos(602B)1cos2B+cos2Bsin2B2231=sin2Bcos2B+1=sin(2B)1226，2BB623当时，即=．5小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例6设关于x的方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解α、β.(1)求α的取值范围;(2)求tan(α＋β)的值.解:(1)∵sinx＋3cosx＝2(21sinx＋23cosx)＝2sin(x＋3),∴方程化为sin(x＋3)＝－2a.∵方程sinx＋3cosx＋a＝0在(0,2π)内有相异二解,∴sin(x＋3)≠sin3＝23.又sin(x＋3)≠±1(∵当等于23和±1时仅有一解),∴|－2a|1.且－2a≠23.即|a|2且a≠－3.∴a的取值范围是(－2,－3)∪(－3,2).(2)∵α、β是方程的相异解,∴sinα＋3cosα＋a＝0①.sinβ＋3cosβ＋a＝0②.①－②得(sinα－sinβ)＋3(cosα－cosβ)＝0.∴2sin2cos2－23sin2sin2＝0,又sin2≠0,∴tan2＝33.∴tan(α＋β)＝2tan22tan22＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2π)这一条件.例7已知函数xxmxfcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间2,0上恒成立的不等式．任取21,xx2,0，且21xx，则不等式21xfxf恒成立，即11cossin2xxm22cossin2xxm恒成立．化简得2112sin2coscosxxxxm由2021xx可知：0coscos12xx，所以1221coscossin2xxxxm上式恒成立的条件为：上的最小值，在区间20coscossin21221xxxxm.由于2sin2cos22sin2sin22cos2sin4coscossin22121212121211221xxxxxxxxxxxxxxxx62sin2cos2cos2sin2sin2sin2cos2cos221212121xxxxxxxx2tan2tan2tan2tan122121xxxx且当2021xx时，42,2021xx，所以12tan,2tan021xx,从而02tan12tan12tan2tan2tan2tan1212121xxxxxx,有22tan2tan2tan2tan122121xxxx,故m的取值范围为]2,(.【基础精练】1．已知α是锐角，且sinπ2＋α＝34，则sinα2＋π的值等于()A.24B．－24C.144D．－1442．若－2π＜α＜－3π2，则1－cos(α－π)2的值是()A．sinα2B．cosα2C．－sinα2D．－cosα23.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos2αcos(90°＋α)等于()A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于()A.25B.75C.145D.－255.定义运算abcd＝ad－bc.若cosα＝17，sinαsinβcosαcosβ＝3314，0βαπ2，则β等于()A.π12B.π6C.π4D.π36.已知tanα和tan(π4－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是()A.b＝a＋cB.2b＝a＋cC.c＝b＋aD.c＝ab77.设a＝22(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝1－tan240°30′1＋tan240°30′，d＝12(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()A.a＞b＞d＞cB.b＞a＞d＞cC.d＞a＞b＞cD.c＞a＞d＞b8．函数y＝12sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A.－12，32B.－32，12C.－22＋12，22＋12D.－22－12，22－129.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝.10.设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sinα2cosα2，则cosα2＝.1