NOIP初赛复习14基本算法思想

NOIP初赛复习14基本算法思想一个程序往往要包含两个方面的描述：一是对数据组织的描述，就是数据的类型和数据的组织形式（例如数组），称作数据结构；一是对程序操作流程的描述，就是程序的操作步骤，也就是所谓算法。正如著名的计算机科学家沃思（NikiklausWirth）提出的公式：数据结构+算法=程序。算法，广义地讲就是解决问题的方法和过程。可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。如果把一个程序比喻成一个具有生命的人，那么数据结构就是这个人的躯体，而算法则是这个人的灵魂。枚举枚举法，又称穷举法，或称为暴力破解法，是一种针对于密码的破译方法，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。基本思想：在可能的解空间中穷举出每一种可能的解，并对每一个可能解进行判断，从中得到问题的答案。虽然枚举法本质上属于搜索策略，但是它与后面讲的回溯法或宽度优先搜索有所不同。总的来说，枚举就是通过列举所有的可能性进行一一判断检查。适用条件：1、可预先确定每个状态的元素个数n。2、可预先确定每个状态元素a1,a2,…,an的值域。注意事项：使用枚举思想解决实际问题，最关键的步骤是划定问题的解空间，并在该解空间中一一枚举每一个可能的解。这里有两点需要注意。一是解空间的划定必须保证覆盖问题的全部解。如果解空间集合用H表示，问题的解集用h表示，那么只有当时，才能使用枚举法求解。二是解空间集合及问题的解集一定是离散的集合，也就是说集合中的元素是可列的、有限的。常见类型：枚举排列、枚举子集。常见方法：递归地枚举，这种方法往往更为直观；递推（循环）地枚举，这种方法往往写起来更为简洁。主要优点：由于枚举算法一般是现实问题的“直译”，且是建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础之上的，因此比较直观，易于理解，其算法的正确性也比较容易证明。主要缺点：枚举算法的效率取决于枚举状态的数量以及单个状态枚举的代价，因此效率比较低。在某些情况下，我们可以通过利用题目的特点去除相当大的一部分情况的列举，从而提高枚举的效率。算法优化：1、提取有效信息;2、减少重复计算;3、将原问题化为更小的问题;4、根据问题的性质进行截枝;5、引进其他算法。例：NOIP2016玩具谜题、NOIP2014生活大爆炸版石头剪刀布等递推递推是一种用若干步可重复的简运算（规律）来描述复杂问题的方法。给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当nn0时,可以用等号(或大于号、小于号)将Hn与其前面的某些项Hi(0in)联系起来，这样的式子就叫做递推关系。基本思想：递推是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定项的值。把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。主要步骤：建立递推关系式；确定边界条件；递推求解。应用分类：一般递推问题；组合计数类问题；一类博弈问题的求解；动态规划问题的递推关系。动态规划与递推的关系1、一般递推边界条件很明显，动态规划边界条件比较隐蔽，容易被忽视；2、一般递推数学性较强，动态规划数学性相对较弱；3、一般递推不划分阶段，动态规划一般有较为明显的阶段。五种典型的递推关系1、Fibonacci数列在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中，就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些，逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？解：设满x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为Nx对。第x-1个月留下的兔子数目设为Fx-1对。则：Fx=Nx+Fx-1Nx=Fx-2(即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了)∴Fx=Fx-1+Fx-2边界条件：F0=0，F1=1由上面的递推关系可依次得到F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题。在优选法中，Fibonacci数列的用处也得到了较好的体现。2、Hanoi塔问题问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图所示。要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：1、一次只能移一个圆盘；2、圆盘只能在三个柱上存放；3、在移动过程中，不允许大盘压小盘。问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？解：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然，当n=1时，只需把a柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h1=1。当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故h2=3。以此类推，当a柱上有n(n2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。∴hn=2hn-1+1边界条件：h1=13、平面分割问题问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1)，边界条件是a1=1。4、Catalan数Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常出现在组合计数问题中。问题的提出：在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表示，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn。NOIP初赛复习（三）栈与卡特兰数Catalan数是比较复杂的递推关系，尤其在竞赛的时候，选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系。当然，Catalan数类的问题也可以用搜索的方法来完成，但是，搜索的方法与利用递推关系的方法比较起来，不仅效率低，编程复杂度也陡然提高。5、第二类Stirling数在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。定义：n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。下面就让我们根据定义来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。解：设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：1、bn独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为S2(n-1,m-1)；2、bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为mS2(n-1,m)。综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理：S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1)(n1,m1)边界条件可以由定义2推导出：S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。小结：通过上面对五种典型的递推关系建立过程的探讨，可知对待递推类的题目，要具体情况具体分析，通过找到某状态与其前面状态的联系，建立相应的递推关系。递归一个函数、过程、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部又直接或间接地出现有其本身的引用，则称它们是递归的或者是递归定义的。在程序设计中，过程或函数直接或者间接调用自己，就被称为递归调用。其中直接调用自己称为直接递归，而将A调用B，B以调用A的递归叫做间接递归。基本思想：1、递归是借助于一个递归工作栈来实现。递归=递推+回归。2、递推：问题向一极推进,这一过程叫做递推。这一过程相当于压栈。3、回归：问题逐一解决，最后回到原问题，这一过程叫做回归。这一过程相当于弹栈。注意事项：1、递归就是在过程或函数里调用自身；2、在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。主要优点：采用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些，所以当问题本身是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决方法是递归形式的时候，往往采用递归算法来解决。主要缺点：执行的效率很低，尤其在边界条件设置不当的情况下，极有可能陷入死循环或者内存溢出的窘境。递归实现的代价是巨大的栈空间的耗费，那是因为过程每向前递推一次，程序将本层的实在变量（值参和变参）、局部变量构成一个“工作记录”压入工作栈的栈顶，只有退出该层递归时，才将这一工作记录从栈顶弹出释放部分空间。由此可以想到，减少每个“工作记录”的大小便可节省部分空间。例如某些变参可以转换为全局变量，某些值参可以省略以及过程内部的精简。应用分类：1、递归的定义问题。树结构是由递归定义的。因此，在解决与树有关的问题时，常常可以采用递归的方法。2、解决搜索问题。因为搜索产生的节点成树状结构，所以可以用递归方法解决。这类例子很多，如“N皇后”问题，全排列，哈密顿回路，图的可着色性等搜索问题。3、实现分治思想。不难发现，在各种时间复杂度为nlogn排序方法中，大都采用了递归的形式。因为无论是分治合并排序，还是堆排序、快速排序，都存在有分治的思想。只要分开处理，就可以采用递归。其实进行分治，也是一个建树的过程。4、用于输出动态规划的中间过程。动态规划对空间要求较高，若要保存中间过程用于输出，则可能要增加一倍的空间需求。此时，如果采用递归输出，就完全不需要浪费这宝贵的空间。【例】给定n（n=1）,用递归的方法计算1+2+3+4+...+(n-1)+n。算法分析：本题可以用递归方法求解，其原因在于它符合递归的三个条件：1、本题是累加问题：当前和=前一次和+当前项，而前一次和的计算方法与其相同，只是数据不同s(n)=s(n-1)+n;2、给定n,所以是有限次的递归调用；3、结束条件是当n=1，则s=1。【参考程序】#includeiostreamusingnamespacestd;intfac(int);//递归函数intmain(){intt;cint;//输入t的值couts=fac(t)endl;//计算1到t的累加和，输出结果}intfac(intn){if(n==1)return1;return(fac(n-1)+n);//调用下一层递归}运行程序，当T=5时，输出结果：S=15，其递归调用执行过程如下图：（设T=3）递归调用过程，实质上是不断调用过程或函数的过程，由于递归调用一次，所有子程序的变量（局部变量