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高考数学应用题的解题策略南京师大附中吴兆甲2012.04高考数学应用题的解题策略一、江苏高考数学应用题统计分析二、数学应用题的解题策略三、形成应用题的解题策略四、实战演练—解题策略的应用2011包装盒面积和体积问题2010测量问题2009利润问题2008距离问题2007概率2006体积问题一、江苏高考数学应用题统计分析2011包装盒面积和体积问题几何背景2010测量问题几何背景2009利润问题销售背景2008距离问题几何背景2007概率2006体积问题几何背景一、江苏高考数学应用题统计分析2011包装盒面积和体积问题几何背景2010测量问题几何背景2009利润问题销售背景2008距离问题几何背景2007概率2006体积问题几何背景一、江苏高考数学应用题统计分析数学应用题的解题程序实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题二、数学应用题的解题策略一要身临其境要慢！要“品”！二要抓自变量找等量关系！重在审题！如何审题？“抓重点：等量关系是关键；破难点：变量思想是主线.”实际问题建立数学模型三、形成策略1、如何寻找和利用等量关系？例1．（2008江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20km，CB＝10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式，②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.PADCBO（1）等量关系就是函数关系①y=20cosθ－10tanθ+10(0≤θ≤π4)②y=x+2x2-20x+200(0≤x≤10)10－10tanθθ1020cosθPADCBOxx2-20x+200PADCBO（1）等量关系就是函数关系①y=20cosθ－10tanθ+10(0≤θ≤π4)②y=x+2x2-20x+200(0≤x≤10)（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？PADCBO（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？选y=20cosθ－10tanθ+10(0≤θ≤π4)，θ为自变量会碰到什么困难？能否解决？选y=x+2x2-20x+200(0≤x≤10)，x为自变量会碰到什么困难？能否解决？PADCBO因为y=20cosθ－10tanθ+10=20cosθ－10sinθcosθ+10问题转化为求y=20cosθ－10sinθcosθ+10的最小值，这是个常规的函数求最小值问题，可以利用导数求解.小结：θ是个“好”自变量！（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？10－10tanθθ1020cosθPADCBO例2.（2012南京二模18）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最大值．(第18题图）CABDl自变量是什么？等量关系是什么？题目给出了自变量“AB＝x”，“∠A和∠C互补”，等量关系和x有什么关系？余弦定理有两种形式，选哪种形式？是cosA＝AB2+AD2－BD22AB·AD＝x2+(9－x)2－BD22x(9－x)？还是BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA余弦定理！(第18题图）CABDl自变量是什么？等量关系是什么？cosA和BD，应该保留哪个？消去哪个？应该保留cosA！消去BD！是cosA＝AB2+AD2－BD22AB·AD＝x2+(9－x)2－BD22x(9－x)？还是BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA(第18题图）CABDl应该保留cosA！消去BD！即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝2x，即f(x)＝2x．其中x∈(2，5)．自变量是什么？等量关系是什么？(第18题图）CABDl若选cosA＝－cosC，转化为AB2+AD2－BD22AB·AD＝－CB2+CD2－BD22CB·CD即x2+(9－x)2－BD29－x＝x2+(5－x)2－BD2x－5比例的性质，若ab=cd，则a＋cb+d=a－cb－d.自变量是什么？等量关系是什么？然后怎么办？你会用吗？(第18题图）CABDlx2+(9－x)2－BD29－x＝x2+(5－x)2－BD2x－5然后怎么办？所以2x2+(9－x)2+(5－x)2－2BD24＝8(7－x)2(7－x)＝4所以BD2=x2+12(9－x)2+12(5－x)2－8所以cosA＝x2+(9－x)2－BD22x(9－x)＝12[(9－x)2－(5－x)2]+82x(9－x)＝4(7－x)+82x(9－x)＝2x.比例的性质，若ab=cd，则a＋cb+d=a－cb－d.自变量是什么？等量关系是什么？怎样用好等量关系？（2）四边形ABCD的面积S＝12(AB·AD+CB·CD)sinA＝(x2－4)(x2－14x＋49)．记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－12舍)．以下略.1、如何寻找和利用等量关系？小结一：如何寻找等量关系？答：1.在问题的题设中寻找；2.在数学中的重要公式（距离、面积、体积）中寻找；3.在图形的位置关系中寻找.三、形成策略2、如何找自变量？例3.有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．（1）有人作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V.(a)(b)求什么？选“谁”做自变量？长方体的体积的最大值？小正方形的边长（也可选底面正方形的边长）例3.有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．（1）有人作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V.(a)(b)解：设小正方形的边长为x，由题意，得V(x)＝(4－2x)2x＝4(x－2)2x(x∈(0,2))令V/(x)=0，得x＝23，又x∈(0,23)时，V/(x)0；x∈(23,2)时，V/(x)＜0，所以最大容积V＝12827.求什么？选“谁”做自变量？长方体的体积的最大值？小正方形的边长(a)(b)（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？→边长为4的正方形钢板.→一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？→长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？→边长为4的正方形钢板.→一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？→长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.→若设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，则问题变为：已知a2+4ah=16，求V=a2h最大时a或h的值？（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.显然消去h较易，所以选容器底面正方形的边长为自变量.因为h＝16－a24a，所以V＝a216－a24a＝14(16a–a3)，其中a∈(0，4).问题变为：求函数f(a)＝14(16a–a3)a∈(0，4)的最大值已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？→边长为4的正方形钢板.→一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？→长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积.→若设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，则问题变为：已知a2+4ah=16，求V=a2h最大时a或h的值？解：设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，则由题意知a2+4ah＝16,故h＝16－a24a，则V=a2h=a216-a24a=14a·(16-a2)=14(16a–a3)(0a4)，由V/=0得a＝433(负值舍去)，当0＜a＜433时，V是a的增函数；当433＜a＜4时，V是a的减函数.∴当a=433时有最大容积，最大容积为166×433＝3293.答：当容器的底面边长为433，高为233时，长方体型无盖容器容积最大.例4．(2011届南京一模)如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．OABCD（第17题）已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？例4．(2011届南京一模)如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．ABCD（第17题）已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？→半径为30cm的半圆形→一种裁剪方法，使圆柱体积最大→矩形ABCD的面积等于圆柱的侧面积.例4．(2011届南京一模)如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．注意到：矩形ABCD的面积是变化的！ABCD（第17题）例4．(2011届南京一模)以变量为主线思考下列问题：1.影响着几何体形状的变的主动点是谁？2.如何把这种“影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的自变量“好”吗？已知什么？求什么？有哪些等量关系？选“谁”做自变量？→半径为30cm的半圆形→一种裁剪方法，使圆柱体积最大→矩形ABCD的面积等于圆柱的侧面积.注意到：矩形ABCD的面积是变化的！ABCD（第17题）（方法一）设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V．由AB＝2900－x2＝2πr，得r＝900－x2π，所以V＝πr2h＝1π(900x－x3)，其中0＜x＜30．由V′＝0，得x＝103．因为V在(0，103)上增，在(103，30)上减．所以当x＝103时，V的最大值为60003π．答：取BC为103cm时，体积最大，最大值为60003πcm3．以变量为主线思考下列问题：1.影响着几何体形状的变的主动点是谁？2.如何把这种“影响”用一个变量来体现？3.可以用选好的变量来算出圆柱体积吗？4.你选择的自变量“好”吗？例4．(2011届南京一模)ABCDO（第17题）例4．(2011南京一模)解方二：连结OC，设∠BO