三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

-1-三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的图像中，五个关键点是：(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xk时，max1y；当22xk时，min1y．当2xk时，max1y；当2xk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数；在32,222kk上是减函数．在2,2kk上是增函数；在2,2kk上是减函数．在,22kk上是增函数．对称性对称中心,0k对称轴2xk对称中心,02k对称轴xk对称中心,02k无对称轴函数性质-2-例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]，(2)y=-cosx，x∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：21sin)1(x21cos)2(x3、周期函数定义：对于函数()yfx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：()()fxTfx，那么函数()yfx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：周期T往往是多值的（如sinyx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做()yfx的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sinyx,cosyx的最小正周期为2（一般称为周期）正弦函数、余弦函数：2T。正切函数：例求下列三角函数的周期：1y=sin(x+3)2y=cos2x3y=3sin(2x+5)4y=tan3x例求下列函数的定义域和值域：（1）2sinyx（2）3sinyx（3）lgcosyx例5求函数sin(2)3yx的单调区间-3-例不求值，比较大小奎屯王新敞新疆(1)sin(－18)、sin(－10)；(2)cos(－523)、cos(－417)．解：(1)∵－2＜－10＜－18＜2．(2)cos(－523)＝cos523＝cos53且函数y＝sinx，x∈［－2，2］是增函数奎屯王新敞新疆cos(－417)＝cos417＝cos4∴sin(－10)＜sin(－18)∵0＜4＜53＜π即sin(－18)－sin(－10)＞0且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数∴cos53＜cos4即cos53－cos4＜0∴cos(－523)－cos(－417)＜04、函数sin0,0yx的图像：（1）函数sin0,0yx的有关概念：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．(2)振幅变换①y=Asinx，xR(A0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的奎屯王新敞新疆②它的值域[-A,A]最大值是A,最小值是-A③若A0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折奎屯王新敞新疆A称为振幅，这一变换称为振幅变换奎屯王新敞新疆(3)周期变换①函数y=sinωx,xR(ω0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1倍（纵坐标不变）②若ω0则可用诱导公式将符号“提出”再作图奎屯王新敞新疆ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换奎屯王新敞新疆(4)相位变换一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到奎屯王新敞新疆(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)-4-y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换奎屯王新敞新疆5、小结平移法过程（步骤）6、函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx．例如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜2的一段图象，则f（x）的表达式为奎屯王新敞新疆例如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()A奎屯王新敞新疆A＝3，Ｔ＝34，φ＝－6B奎屯王新敞新疆A＝1，Ｔ＝34，φ＝－43C奎屯王新敞新疆A＝1，Ｔ＝32，φ＝－43D奎屯王新敞新疆A＝1，Ｔ＝34，φ＝－6例画出函数y＝3sin(2x＋3)，x∈R的简图奎屯王新敞新疆作y=sinx（长度为2的某闭区间）得y=sin(x+φ)得y=sinωx得y=sin(ωx+φ)得y=sin(ωx+φ)得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。沿x轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短1沿x轴平移||个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短图e-5-解：(五点法)由T＝22，得T＝π列表：x–6123127652x+302π232π3sin(2x+3)030–30例求函数33tanxy的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性奎屯王新敞新疆解：由233kx得1853kx，所求定义域为zkkxRxx,1853,|且值域为R，周期3T，是非奇非偶函数奎屯王新敞新疆在区间zkkk1853,183上是增函数奎屯王新敞新疆例已知函数y=sin2x+3cos2x-2奎屯王新敞新疆(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象奎屯王新敞新疆(2)求这个函数的周期和单调区间奎屯王新敞新疆(3)求函数图象的对称轴方程奎屯王新敞新疆(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的奎屯王新敞新疆解：y=sin2x+3cos2x-2=2sin(2x+3)-2(1)列表x61231276532x022322)32sin(2xy-20-2-4-2其图象如图示(2)22T=π奎屯王新敞新疆由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ，知函数的单调增区间为［-125π+kπ,12+kπ］,k∈Z奎屯王新敞新疆由2+2kπ≤2x+3≤23π+2kπ，知函数的单调减区间为-6-［12+kπ,12π+kπ］,k∈Z奎屯王新敞新疆(3)由2x+3=2+kπ得x=12+2kπ奎屯王新敞新疆∴函数图象的对称轴方程为x=12+2kπ,(k∈Z)奎屯王新敞新疆(4)把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移3个单位，得到函数y2=sin(x+3)的图象；再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y3=sin(2x+3)的图象；再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin(2x+3)的图象；最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin(2x+3)-2的图象奎屯王新敞新疆