导数与切线复习完整讲义

宁波中学数学复习资料1/13导数与切线复习提纲一.切线问题1.导数的几何意义：在切点处切线的斜率。2.切线方程：'000()()yyfxxx−=−点斜式方程：点为切点00(,)xy；斜率为'0()kfx=，故求切线的关键是知道切点的坐标，如果题目中没有切点，那么先设出切点的坐标为00(,)xy。求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()Pxy，及斜率，其求法为：设00()Pxy，是曲线()yfx=上的一点，则以P的切点的切线方程为：000()()yyfxxx−=−．若曲线()yfx=在点00(())Pxfx，的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．例1曲线3231yxx=−+在点(11)−，处的切线方程为（）Ａ．34yx=−Ｂ．32yx=−+Ｃ．43yx=−+Ｄ．45yx=−解：由2()36fxxx=−则在点(11)−，处斜率(1)3kf==−，故所求的切线方程为(1)3(1)yx−−=−−，即32yx=−+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线240xy−+=的平行的抛物线2yx=的切线方程是（）Ａ．230xy−+=Ｂ．230xy−−=Ｃ．210xy−+=Ｄ．210xy−−=解：设00()Pxy，为切点，则切点的斜率为0022xxyx===|．01x=∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)yx−=−，即210xy−−=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为2yxb=+，代入2yx=，得220xxb−−=，又因为0=，得1b=−，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32yxx=−上的点(11)−，的切线方程．宁波中学数学复习资料2/13解：设想00()Pxy，为切点，则切线的斜率为02032xxyx==−|．∴切线方程为2000(32)()yyxxx−=−−．320000(2)(32)()yxxxxx−−=−−．又知切线过点(11)−，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)xxxx−−−=−−．解得01x=，或012x=−．故所求切线方程为(12)(32)(1)yx−−=−−，或13112842yx−−+=−+，即20xy−−=，或5410xy+−=．评注：可以发现直线5410xy+−=并不以(11)−，为切点，实际上是经过了点(11)−，且以1728−，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(20)，且与曲线1yx=相切的直线方程．解：设00()Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx==−|．∴切线方程为00201()yyxxx−=−−，即020011()yxxxx−=−−．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)xxx−=−−．解得000111xyx===，，即20xy+−=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数33yxx=−，过点(016)A，作曲线()yfx=的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33yxx=−，点(016)A，不在曲线上．设切点为00()Mxy，，则点M的坐标满足30003yxx=−．因200()3(1)fxx=−，故切线的方程为20003(1)()yyxxx−=−−．点(016)A，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)xxxx−−=−−．化简得308x=−，解得02x=−．宁波中学数学复习资料3/13所以，切点为(22)M−−，，切线方程为9160xy−+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．例6.已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf−+=，在点))1(,1(f处的切线方程为02=+y．（1）求函数)(xf的解析式；（2）若对于区间]2,2[−上任意两个自变量的值21,xx，都有cxfxf−|)()(|21，求实数c的最小值；（3）若过点)2)(,2(mmM，可作曲线)(xfy=的三条切线，求实数m的取值范围。【解析】（1）323)(2−+=bxaxxf…………1分根据题意，得=−=,0)1(,2)1(ff即=−+−=−+,0323,23baba解得==.0,1ba.3)(3xxxf−=…………3分（3）设切点为300000(,),3xyyxx=−则200()33fxx=−，切线的斜率为2033.x−…………8分则3200003332xxmxx−−−=−即32002660xxm−++=，…………9分因为过点(2,)(2)Mmm，可作曲线()yfx=的三条切线所以方程32002660xxm−++=有三个不同的实数解即函数32()266gxxxm=−++有三个不同的零点，…………10分则2()612.gxxx=−宁波中学数学复习资料4/13令()0,02.gxxx===解得或x(,0)−0（0，2）2（2，+∞）()gx+0—0+()gx极大值极小值…………12分0)2(0)0(gg即−+0206mm，∴26−m…………14分类型五：某直线是曲线的切线例7.若直线(1)2ykx=−+是曲线33yxx=−的切线，求实数k的值。答案：k=0，过点（1，2）的切线问题。类型六：某直线不是曲线的切线例8.若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线f（x）＝3xax−的切线，则实数a的取值范围。提示：22'()313111fxxaaxa类型七：切线的应用求最小值例9在曲线)0(1=xxy上求一点P，使P到直线042=−+yx的距离最小？析:数形结合，平行于直线042=−+yx且与1(0)yxx=相切的切点即为所求。解：设切点00(,)Pxy，由21'yx=−得，0201'|xxkyx===−，又042=−+yx的斜率为12−。20112x−=−即002,2.xx==−00,2.xx=−02.2y=−2(2,)2P−−为所求。练习：已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为.解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上∴y=－2x,∴y′=－x1,∵kAB=－21,∴－211−=x宁波中学数学复习资料5/13∴x=4,代入y2=4x(y0)得y=－4.∴P(4,－4)类型八：相同的切线例10.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P（2，0），且在点P处有相同的切线.（1）求实数a、b、c的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P（2，0）∴f(2)=0即2×23+a×2=0，所以a=－8．g(2)=0即：4×b+c=0又∵f(x)，g(x)在P处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16，∴a=－18，b=4，c=－16．（2）由F(x)=2x3+4x2－8x－16，有F′(x)=6x2+8x－8解不等式F′(x)=6x2+8x－8≥0得x≤－2或x≥32即单调增区间为),32[],2,(+−−．同理，由F′(x)≤0得－2≤x≤32，即单调减区间为[－2，32]．练习：已知()lnfxx=，217()22gxxmx=++（0m），直线l与函数()fx、()gx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1．求直线l的方程及m的值；解：依题意知：直线l是函数()lnfxx=在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11kf===，所以直线l的方程为1yx=−．又因为直线l与()gx的图像相切，所以由22119(1)0172222yxxmxyxmx=−+−+==++，得2(1)902mm=−−==−（4m=不合题意，舍去）；类型九：切线应用（相交问题）例题：已知直线ykx=与曲线lnyx=有公共点，则k的最大值为1e。练习：已知直线ykx=与曲线lnyx=和xye=都没有公共点，则k的取值范围。课后练习1.曲线2xyx=−在点(1,1)−处的切线方程为.21yx=−+2.已知曲线11xyx+=−在点(3,2)处的切线与直线axy+10+=垂直，则a=.2−宁波中学数学复习资料6/133.直线ykx=是lnyx=的切线，则k的值为.1e4.曲线32yxx=+−在点P处的切线与直线14yx=−1+垂直，则点P坐标为.(1,0)或(1,4)−−5.已知曲线2:1Cyx=+，过曲线C上点P的切线，直线0,1,2yxx===围成的梯形面积取得最大值时P的坐标为.313(,)246.设P为曲线2:23Cyxx=++上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,]4，则点P横坐标的取值范围为.1[1,]2−−7.若点P在曲线3233(33)4yxxx=−+−+上移动，经过点P的切线的倾斜角，则角的取值范围为.2[0,)[,)238.已知点P在曲线41xye=+上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是.3[,)49.过点(1,0)P作曲线3yx=−的切线l，则l的方程为.0y=或274270xy+−=10.曲线xye=在点2(2,)e处的切线与坐标轴所围成的面积为.22e11.函数()fx在R上满足2()2(2)8fxfxxx=−−+8−，则曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程是.210xy−−=12.对正整数n，设曲线(1)nyxx=−在2x=处的切线与y轴交点纵坐标为na，则数列{}1nan+的前n项和的公式是.122n+−宁波中学数学复习资料7/1313.点P是曲线2lnyxx=−上任意一点，P则到直线2yx=−的距离的最小值为.214.曲线2()lnfxxaxbx=++过(1,0)P，且在P点处的切斜线率为2，求,ab的值.1,3ab=−=15.已知函数ln()1axbfxxx=++，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为230xy+−=，求,ab的值.1,1ab==16.已知函数)(),(),(21)(,ln)(2xgxflaaxxgxxf与函数直线为常数+==的图象都相切，且l与函数)(xf图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由1|)(1==xxf，故直线l的斜率为1，切点为))1(,1(f即（1，0）∴1:−=xyl①又∵)21,1(,1)(axxg+==切点为∴1)21(:−=+−xayl即axy+−=21②比较①和②的系数得21,121−=−=+−aa17.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln2fxxaxgxaxb=+=+，其中0a。设两曲线(),()yfxygx==有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若1a=，求b的值；（2）用a表示b，并求b的最大值。解：（1）设()yfx=与()(0)ygxx=在公共点00(,)xy处的切线相同3'()2,'()fxxgxx=+=由题意知0000()(),'()'()fxgxfxgx==，∴200000123ln232xxxbxx+=++=由0032xx+=得，01x=，或03x=−（舍去）即有52b=（2）设()