导数的概念及运算复习讲义

1导数的概念及运算要点梳理1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为______________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝________________.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝____________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c是常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________；(3)fxgx′＝__________(g(x)≠0)．注意：1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；2(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1．(课本改编题)f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．2．(课本精选题)如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．5．已知曲线y＝14x2－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为()A．－3B．2C．－3或2D.12题型分类题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．探究提高求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.题型二导数的运算例2求下列各函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；3(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sinx21－2cos2x4；(4)y＝11－x＋11＋x；(5)y＝cos2xsinx＋cosx.题型三导数的几何意义例3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．变式训练3已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．审题路线：试题：设函数y＝x2－2x＋2的图像为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图像为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．审题路线图C1与C2有交点↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)4两切线的斜率互为负倒数↓(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率：k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a↓等价转换(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1①↓(交点(x0，y0)适合解析式)y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b，即2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②↓注意隐含条件方程①②同解a＋b＝52↓消元ab＝a52－a＝－a－542＋2516↓当a＝54时，ab最大且最大值为2516.方法与技巧1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．