一轮复习三角函数的图像和性质

2019年12月6日星期五*xyo2ππ-π-2πxyo2ππ-π-2π1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是_______,_______,_______,_______,_________．在确定余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是_______,_______,_______,_______,_________．xyo232232xyo232232(0,0)(,1)2π(,0)π3(,1)2π(2,0)π(0,1)(,0)2π(,1)π3(,0)2π(2,1)π二、三角函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域值域[－1,1][－1,1]RRR{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝时，ymax＝x＝ymin＝x＝时，ymax＝x＝时，ymin＝单调性递增区间：递减区间：递增区间：递增区间：递减区间：1yk21yk2y正弦函数的图象x22322523O23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。最大值：2x当时，有最大值最小值：2x当时，有最小值函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝时，ymax＝1x＝ymin＝－1x＝时，ymax＝1x＝时，ymin＝－1单调性递增区间：递减区间：递增区间：2kπ＋π2(k∈Z)(k∈Z)2kπ－π2[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)递增区间：递减区间：1yk21yk2y余弦函数的图象x22322523O23225311其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，最大值：0x当时，有最大值最小值：x当时，有最小值函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝时，ymax＝1x＝ymin＝－1x＝时，ymax＝1x＝时，ymin＝－1单调性递增区间：递减区间：递增区间：2kπ＋π2(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)(k∈Z)－π2＋2kπ[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)递增区间：递减区间：xOπ/2-π/2-3π/23π/2π-πy-π/4π/41-1正切曲线的图象：函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝时，ymax＝1x＝ymin＝－1x＝时，ymax＝1x＝时，ymin＝－1单调性递增区间：递减区间：2kπ＋π2(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)(k∈Z)－π2＋2kπ无最值[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋32π](k∈Z)[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)递增区间：递减区间：递增区间：函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心对称中心对称中心对称轴对称轴奇偶性正弦、余弦函数的对称性x6πy-π-12π3π4π5πo-2π-3π1πx-11y)(sinRxxy)(cosRxxy6πo-π2π3π4π5π-2π-3π-4ππy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0(Zkk，，；，Zkkx.)02(Zkk，，任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.-4π正切函数的对称性：tanyx对称中心是(,0),2kkZ对称轴呢？-3π/2Oπ/2-π/23π/2π-πyx-π/4π/41-1函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心对称中心对称中心对称轴对称轴奇偶性周期性(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Z(kπ2，0)(k∈Z)x＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴奇函数奇函数偶函数2π2ππ2||Ttan()=||yAxT的最小正周期为sin()cos()yAxyAx和的最小正周期均为:.1例求下列函数的周期：22(1)2sin();33(2)3|cos(2)|;12(3)|tan|;(4)2sin(2)6sincos2cos1.4yxyxyxyxxxx3T2TTT高考调研P77思考题1：(1)()|sincos|(2)()sin(0)[0,1]_______.___5___0_.fxxxfxx的最小正周期为若在上至少存在个最小值点，则的取值范围是199[,)2当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？ZkkxAy,)sin(1为奇函数）（关于三角函数奇偶性的归纳拓展：为偶函数为奇函数，xyxycossinZkkxAy,2)sin(2为偶函数）（ZkkxAy,2)cos(3为奇函数）（ZkkxAy,)cos(4为偶函数）（2772.(1)()sin(2);2(2)()tan(3);5(3)()sin(3)sin();2(4)()2sin21;(5)()lg(sin1sin).Pfxxfxxfxxxfxxfxxx高考调研例判断下列函数的奇偶性：偶奇奇奇非奇非偶A.π2B.2π3C.3π2D.5π3C1.(2012)()sin()([0,2])33xfx全国卷若函数是偶函数，则（）2.()cos(3_______.)fxx函数的图象关于原点对称，则,2kkz6.D4.C3.B2.A3.()sin3co,)0s(fxxxxyfx已知函数函数的图象关于直线对称，则的值可以是（）D783.(1)()sin(2)6(2)()sin2cos26.(3)()tan().23Pfxxfxxaxxaxfx高考调研例求函数的对称中心和对称轴方程.设函数的图像关于直线对称，求实数的值求函数的图像的对称中心3.(2)()sin2cos26.fxxaxxa例设函数的图像关于直线对称，求实数的值33783.(1)sin(2)3Pyx高考调研思考题函数的图像的对称轴方程可能是（）6.Ax6.Cx1.2Bx2.1Dx(2)2sin(2)14yx函数的图像的对称中心的坐标是（）).(3,08A).(3,18B1.(,)8C,1)8.(DDB2．(2012年福建高考)函数f(x)＝sinx－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2CA3.(091)()3cos(2)4(,0)||3fxx年全国卷如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）6.A4.B3.C2.D54.()sincos______.3_fxxaxxa已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为335.()sin()(0,||)24()()3()fxxxRfxffx已知函数的最小正周期为，且对任意，都有成立，则图像的一个对称中心的坐标为()0.(2,)3A).(2,03C0.(,)3B).(5,03DA1.形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．2．形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，它的增区间即为原函数的减区间．3、对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝π|ω|，单调区间利用ωx＋φ∈(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)，解出x的取值范围，即为其单调区间．4、已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.78.(1)cos(2)33tan().64Pyxxy高考调研例4求下列函数的单调区间：的单调减区间；的②单调区间①2[,]()63kkkz48(4,4)()33kkkz()sin(2)_______.3fxx1.函数的单调减区间为2.(794(1)_______)sinco2.s2Pxxy高考调研思考题的单调递增区间为3[4,4]()22kkkz5[,]()1212kkkz3.()3sincos(0),()2()5.[,],1212511.[,],1212.[,],362.[,],63fxxxyfxyfxAkkkzBkkkzCkkkzDkkkz已知函数的图像与直线的相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（）C()4cossin()(0).4(1)(2)()[0,].2fxxxfx3.已知函数的最小正周期为求的值；讨论在区间上的单调性(1)()4cossin()4fxxx解：222sincos22cosxxx2sin22cos22xx2sin(2)24x()fx的最小正周期为2==2T=1()4cossin()(0).4(1)(2)()[0,].2fxxxfx3.已知函数的最小正周期为求的值；讨论在区间上的单调性(2)(1)()2sin(2)24fxx由知，[0,]2x52[,]444x204428xx当即时()fx是增函数5224482xx当即时()fx是减函数()[0,][]882fx在区间上单调递增，在区间，上单调递减例4、(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D.(0,2]A1.(794(2))sin[,]33Pyx高考调研思考题已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）3.[,0)2A0.[3,)B].(30,2C].(0,3DC()sin(0)[0,]3[]32_______.fxx2.若函数在上单调递增，在，上单调递减，则323.()sin()(,,0,0).__()2[,]()()(),62236()_____.fxAxAAfxffffx（2014年北京卷）设函数是常数，若函数在区间上具有单调性，且则的最小正周期为()[,]62fx解：在区间上具有单调性2263T23T2()()23ff2723()212fxx的一条对称轴为()()26ff26()23fxx的一个对称中心的横坐标为7==41234T2()cos3sincos(0).2(1)()3(2)().fxxxx