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一、定义二、图象特点和性质三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系返回主页一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。返回主页返回目录一、定义二、图象特点和性质三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系1.特殊的二次函数y=ax2(a≠0)的图象特点和函数性质返回主页前进一、定义二、图象特点和性质四、图象位置与a、b、c、的正负关系三、解析式的求法(1)是一条抛物线；(2)对称轴是y轴；(3)顶点在原点；(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.图26.2.1(一)图象特点:前进（1）a0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而减小；y轴右侧，函数值y随x的增大而增大。a0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而增大；y轴右侧，函数值y随x的增大而减小。（2）a0时，ymin=0a0时，ymax=0图26.2.1(二)函数性质：前进2.一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质返回主页前进一、定义二、图象特点和性质三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系(1)是一条抛物线；(2)对称轴是:x=-(3)顶点坐标是:(-,)(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.2a4a4ac-b22a图26.2.4(一)图象特点:前进（1）a0时，对称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而减小；对称轴右侧(x-)，函数值y随x的增大而增大。a0时，对称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而增大；对称轴右侧(x-)，函数值y随x的增大而减小。（2）a0时，ymin=a0时，ymax=2a2a2a2a4a4ac-b24a4ac-b2图26.2.4(二)函数性质：返回目录解析式使用范围一般式已知任意三个点顶点式已知顶点（h,k)及另一点交点式已知与x轴的两个交点及另一个点y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)返回主页一、定义二、图象特点和性质三、解析式的求法四、图象位置与a、b、c、的正负关系(1)a确定抛物线的开口方向：a0a0(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:c0c=0c0(3)a、b确定对称轴的位置:ab0ab=0ab0(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：Δ0Δ=0Δ0x=-b2axy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：x=-b2a(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(0,c)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0x=-b2aa0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(x1,0)•(x2,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•(x,0)a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0x=-b2a(1)a确定抛物线的开口方向：(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:(3)a、b确定对称轴的位置:(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：xy0•a0a0c0c=0c0ab0ab=0ab0Δ0Δ=0Δ0返回主页x=-b2a题型分析:(一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成的面积例1:填空：(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________．(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前进例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。(1)证明:∵△=22-4*(-8)=360∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27xyABP前进xyOAxyOBxyOCxyOD例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系答案:B前进例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x(三)根据函数性质求函数解析式前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232(四)二次函数综合应用前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:（1）∵a=—0∴抛物线的开口向上∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）121212前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:(2)由x=0，得y=--—抛物线与y轴的交点C（0，--—）由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解0xy(3)④连线①画对称轴x=-1②确定顶点•(-1,-2)••(0,-–)③确定与坐标轴的交点及对称点••(-3,0)(1,0)32前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解0•M(-1,-2)••C(0,-–)••A(-3,0)B(1,0)32yxD：（4）由对称性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面积=—AB×MD=—×4×2=41212前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解解0xx=-1••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32:(5)•(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2当x≤-1时，y随x的增大而减小;前进例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？x为何值时，y0？1232解:0•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32yx由图象可知(6)当x-3或x1时，y0当-3x1时，y0返回主页巩固练习:1、填空：（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（—，-—）12524x=—12（0，0）（2，0）x122.选择(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.