7.4.1平面向量的内积

§7.4.1平面向量的内积（x轴、y轴正方向的单位向量i、j)2、向量的坐标形式：（基底向量表示）a=(x,y)1、向量的坐标表示yOxaij回主页温故a=xi+yj向量的表示方法：向量a的模|a|=x2+y2Page33已知，求的坐标.ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)1122(,),(,)AxyBxy2,211()(,)xyxy2121(,)xxyyABOBOA向量的横坐标=终点的横坐标减始点的横坐标。向量的纵坐标=终点的纵坐标减始点的纵坐标。BA求的坐标1212(,)ABxxyy相反向量的坐标表示回主页若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则a=-b（相反向量的横坐标相反，纵坐标相反）a1=-a2,b1=-b2平行向量的坐标表示OaAyxbBA1B1a1a2b1b2向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行移a,b的始点到原点后，它们的终点A,B与原点共线OA1A∽OB1B2121bbaa平行向量横坐标之比等于纵坐标之比Page661122(,),(,)axybxy已知平面向量的直角坐标运算：(1)abab（2）(3)a结论：两个向量和的横坐标等于这两个向量横坐标的和两个向量和的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和结论：实数与向量乘积的横坐标等于实数乘原来向量的横坐标；实数与向量乘积的纵坐标等于实数乘原来向量的纵坐标。1212(,)xxyy结论：两个向量差的横坐标等于这两个向量横坐标的差两个向量差的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和向量的内积(数量积)的重要性质（1）当同向时，ab、ab（2）当反向时，ab、abab（3）当时，abab0aaaab记作：cosabab2||aaa0,0aba命题正确吗？0bab向量与向量“相乘”平面向量的内积FF功的定义：功的一般表达式：W=FSCOSS物体受到力的作用，并在力方向上发生一段位移，就说力对物体做了功.cosWsFcosF一个物体在力的作用下发生的位移，力与物体位移的夹角为.FsFs①力在位移方向上的分量是多少？F③功W是一个数量还是一个向量？②力所做的功W是多少？F数量θFs两个非零向量夹角的概念记作:,abb则∠AOB叫做与的夹角．ab规定:0180OABabaab已知非零向量与，aOAbOB作，，两个非零向量夹角的概念在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．（1）当时，与同向；0ba记作；ba（2）当时，与反向；πba（3）当时，与垂直，π2ba注意：向量的内积(数量积)的概念记作：①两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cosθ的符号所决定，说明：②两个向量的内积，写成；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．ab我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosabcosabab规定：与任何向量的内积为0．0已知非零向量与，为两向量的夹角，ab,ab〈〉=向量的内积(数量积)的重要性质我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosab（1）当同向时，ab、abcosab（2）当反向时，ab、abab（3）当时，abab02||,aaaaaa特别地0,00abab命题正确吗？0cos0ababcosab0cos180abcosab0cos90ab向量的内积(数量积)的运算律我们把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosab向量内积满足以下运算律()()()ababab（结合律）⑶⑵⑴(abba交换律）()abcacbc（分配律）3542=103解：cos,ababab〈〉54cos30求已知54ab，，(1)(2)(2)abaab,30ab〈〉．00(2)=2=|a||a|cos02|a||b|cos30155+2542=25+20=45aabaaab2||2=25+203aab已知2ab，2,ab求a，b解cosa,b＝||||abab＝222＝−22。由于0≤a,b≤180，所以a,b＝135。4,4,82,.ababab②已知求与的夹角0.ABCABBCABC③在中，若，判断的形状8||4,602()abababbab①，，〈〉求，1664045钝角三角形ab解：由∥，分两种情况：,ab当同向时，,ab当反向时，,.abab且∥求1,2ab已知，cos0abab=2；cosabab=2.1,2ab已知，,;abab且求求证：222()2abaabb2())()ababab(()()abaabbaaabbabb222aabb证明：22()()ababab求证：2()abab解：222aabb226264cos604762196460:.abababab已知，，与的夹角为，求①；②6,4,=452)(3).abababab已知与的夹角，求（你会求吗？把这个乘积叫做与的内积(或数量积)．abcosab向量内积满足以下运算律()()()ababab⑶⑵⑴abba()abcacbc向量的内积(数量积)的概念向量的内积的运算律向量的内积的常用结论⑴当同向时，ab、ab,ab⑵当反向时，ab、ab,ab⑶当时，abab0.2,aaa特别地-oxy---11--13232656734233561126说出下列特殊角的余弦值：2350,,,,,,,,643234630456090120135150180sinsincoscostantanyxyxP(x,y)yx01-1-11P′(-x,y)213332coscos()cos234442coscos()cos356662coscos()cos