2.2等差数列

2.2等差数列(1)1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德国著名数学家。得到数列1，2，3，4，…，1001引例一姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二引例三2124212321252122，23，，24，，25，，26，212421252122，23，，24，，25，，26，得到数列运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？观察：以上数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。高斯计算的数列：1，2，3，4，…，1002观察归纳2124212321252122，23，，24，，25，，26运动鞋尺码的数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。递推公式an－an－1=d（d是常数，n≥2，n∈N*）3等差数列的定义②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差d=1公差d=5002124212321252122，23，，24，，25，，26③公差d=21①1，2，3,…,100；4等差中项的定义如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：a,A,b成等差数列2abA公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=d,……a3-a2=d,a4-a3=d，a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d由此得到通项公式为：…，an-an-1=d不完全归纳法an=an-1+d=a1+(n-1)d证:因为｛an｝为等差数列,a2－a1=d,a3－a2=d,an－an-1=d,……将上面n-1个等式的两边分别相加,当n=1时,上面的等式显然成立.叠加法所以当n≥2时,有5等差数列的通项公式：首项为a1,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:an=a1+(n－1)d.得an－a1=(n-1)d,所以,an=a1+(n-1)d,a1、an、n、d知三求一an=am+(n-m)d(n,m∈N*)变形例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？例题讲解项是数列中第解得令由题意可得：1004011004140141)4()1(5)1(5,4)2(11nnnnadnaaadnn---4920311311)3()1(8)1(8,3)1(2011annadnaaadnn由题意可得：解：解：由题意可得a1+5d=12，a1+17d=36∴d=2，a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n例2在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式an分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。例题讲解求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，再代入通项公式。像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后小结求通项公式的关键步骤：在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d解由题意可知1041da31111da解之,得:a1=-2d=3另解:a12-a5=7d=21则d=3由a5=10知10341a所以a1=-2an-am=(n-m)dan=am+(n-m)d试一试例3宁波市出租车的计价标准为1.8元/km，起步价为10元+1元（即3公里内、含3公里计费10元，加上每次的燃油附加费1元）.如果某人在宁波乘坐出租车前往18km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？例题讲解例题讲解4{}nnaapnqpq例已知数列的通项公式为，其中、为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，求其首项和公差.112{}nnnnnnaaaNaaaN判断数列是等差数列的方法：（1）等差数列定义：-=d(n2,n);（2）2=+(n说明).例题讲解1545105030605{}33153.naaaaaaa例在等差数列中，，.(1)求；(2)求，{},nmnpqaNaaaa在等差数列中，若m,n,p,q且m+n=p+q，则说明.11{}1211{}.nnnnnnaaaaaaa例6已知数列中，，.(1)求证是等差数列；(2)求练习1已知正项数列{an}满足：11111,,.nnnnnaaaaaa且求2已知正项数列{an}满足：1111,,.44nnnnaaaaa且求3梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级，各级成等差数列．计算中间各级的宽度．110cm33cm一复习引入1等差数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数.则这个数列叫做等差数列.1(2,)nnaadnnN2.判断等差数列的方法:(1)利用an-an-1是否是一个与n无关的常数(2)判断an与an+1+an-1的关系3.等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项4.等差数列的通项公式:(2)an-am=(n-m)d(1)通项公式an=a1+（n-1）d)()1(11dadndnaan5等差数列的几何意义:其图象是在一条直线上的一系列点一次项系数常数项6.等差数列的增减性:当d0时,等差数列是递增数列当d0时,等差数列是递减数列当d=0时,等差数列是常数列1{}{},nnmnpqaaaNaaaa7若数列是首项为,公差为d的等差数列,则有如下性质：（1）若m,n,p,q且m+n=p+q，则.2npqnpqaaaaaa此时是特别的,若2n=p+q,则和的等.差中项.},().nabbd（2）数列{其中、是常数是公差为的等差数列.（3）两个等差数列对应项的和（或差）组成的数列是等差数列,,,(,).kmNkk+mk+2m（4）下标成等差数列的项aaa组成公差为md的等差数列.nnnn（5）若{a},{b}都是等差数列，则{Aa+Bb}(A、B为常数)也是等差数列.Nnnnnk（6）若{a},{k}都是等差数列，且k，则{a}也是等差数列练习2已知数列{an}的通项公式为an=pn2+q(p,q为常数),(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列?(2)设bn=an+1-an,求证:对任意实数p、q,数列{bn}都是等差数列.解(1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q当p=0时，an+1-an=q（常数）所以，当p=0,时，数列{an}是等差数列Rq(2)因为bn=2pn+p+q所以bn+1-bn=2p(n+1)+q-(2pn+q)=2p(常数)因此,数列{bn}都是等差数列二新课例1在等差数列{an}中，(1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13;(3)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.(2)已知a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15；例2设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=120，求由an+bn所组成的数列的第37项.1na()____n等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则通项a(2)已知三个数成等差数列，其和为15,首末两项的积为9，求此数列.(3)等差数列{an}中，首项a1＝-24,从第10项开始为非负数，求公差d的取值范围.例3设两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200.问它们之中相同的数构成的数列的通项公式是什么？数列有几项？3,7,11练习:已知两个等差数列5,8,11和都有100项,问他们有多少共同项?例4已知两个不相等的实数m、n，在m与n之间插入a1、a2，构成公差为d1的等差数列；若在m与n之间插入b1、b2、b3，则构成公差为d2的另一个等差数列，求d1/d2.例5(1)已知数列{an}满足a1=3,an-2anan+1-an+1=0,求该数列的通项公式an；1131225111nnnnaannNabbab.,,(,*)..():.(2)nnnn2已知a中数列数列满足求证数列是等差数列求数列a中的最大项与最小项,并说明理由.36()31.2xfxxNnnn-1n1100例已知函数，数列{x}的通项由x=f(x)(n2,n)确定.1(1)求证{}是等差数列；x(2)当x时，求x