基本初等函数讲义(超级全)

一、一次函数一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质20fxaxbxca0a0aOxyyxOOxyyxOOxyyxO图像定义域,对称轴2bxa顶点坐标24,24bacbaa值域24,4acba24,4acba单调区间,2ba递减,2ba递增,2ba递增,2ba递减①.二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象2bxa2bxa过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．五、对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．必修一(函数基本性质)测试一选择题（30分钟）1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{yxyx的解构成的集合是（）A．)}1,1{(B．}1,1{C．（1，1）D．}1{3.集合A={xZkkx,2},B={Zkkxx,12},C={Zkkxx,14}又,,BbAa则有（）A.（a+b）AB.(a+b)BC.(a+b)CD.(a+b)A、B、C任一个8.集合4.函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于（）A．－7B．1C．17D．255.函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）A．(3，8)B．(－7，－2)C．(－2，3)D．(0，5)6.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13)B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13)D．f(13)＜f(－1)＜f(9)7.函数cxxy42，则（）A)2()1(fcfB)2()1(fcfC)2()1(ffcD)1()2(ffc8．已知定义在R上的偶函数()fx满足(4)()fxfx，且在区间[0,4]上是减函数则（）A．(10)(13)(15)fffB．(13)(10)(15)fffC．(15)(10)(13)fffD．(15)(13)(10)fff9．下列各组函数表示同一函数的是（）A．22(),()()fxxgxxB．0()1,()fxgxxC．3223(),()()fxxgxxD．21()1,()1xfxxgxx10.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是（）11.已知函数yfx()1定义域是[]23，，则yfx()21的定义域是（）A.[]052，B.[]14，C.[]55，D.[]37，12.若函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A.1B.2C.3D.4（增加）.若f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且f（lgx）f(1),则x的取值范围是（）A.(110，1)B.(0，110)(1，)C.(110，10)D.(0，1)(10，)二填空题（10分钟）13.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba，又可表示成}0,,{2baa，则20042003ba.14.已知集合}33|{xxU，}11|{xxM，}20|{xxNCU那么集合N，)(NCMU，NM.15．函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__．16.函数1xey的定义域为;17.函数]1,1[)20(32在aaxxy上的最大值是，最小值是.（增加）.已知函数),3)(1(),3(2)(xxfxxfx则)3(log2f_________.三计算题（30分钟）18.已知集合}04{2xxA，集合}02{axxB，若AB，求实数a的取值集合19.已知集合}31{xxA，},{2AxyxyB，},2{AxaxyyC，若满足BC，求实数a的取值范围．20.证明函数f（x）＝13x在［3,5］上单调递减，并求函数在［3,5］的最大值和最小值。21．已知函数()fx是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足22(23)(45)fxxfxx的x的集合．22.函数在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）。（I）试写出g（t）的函数表达式；（II）求出g（t）的最小值。（增加）.已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2()44fxxx2()(3)1fxmxmx例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244yxx的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A．2312yxB．2312yxC.2312yxD.2312yx例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（）A．m＜－1或m＞2B．m＜0或m＞－1C．－1＜m＜0D．m＜－1例4.已知二次函数fx同时满足条件：（1）11fxfx；（2）fx的最大值为15；（3）0fx的两根立方和等于17求fx的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．222xmxm例6．当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．例7．当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．三、幂函数例8.下列函数在,0上为减函数的是（）Ａ．13yxＢ．2yxＣ．3yxＤ．2yx例9.下列幂函数中定义域为0xx的是（）Ａ．23yxＢ．32yxＣ．23yxＤ．32yx例10.讨论函数y＝52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y＝42215xx－－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)的结果是（）A、2B、12C、—2D、—12例12.等于（）A、B、C、D、44366399aa16a8a4a2a例13.若53,83ba，则ba233＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|1}xMyyPyyx，则M∩P（）A.{|1}yyB.{|1}yyC.{|