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24考研数学二命题人归纳每章知识结构图第一部分高等数学第一章函数、极限与连续性函数、极限与连续函数的性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）复合函数与反函数常见的函数形式（初等函数、分段函数、隐函数等）连续性与间断点的定义连续函数的性质判断连续性与间断点类型的方法（初等函数连续性连续函数运算性质，间断类型判别）极限的定义与性质、极限存在与否的判别方法未定式（“00”型或“∞∞”型）其他未定式（转化为“00”，或“∞∞”）直接用运算法则分别求左右极限（四则运算、幂指数运算、代入法）函数极限数列极限递归数列1(())nxfn+=n项积数列（恒等变形，转化为n项和）n项和数列（恒等变形，转化为n项和）一般情形（转化为函数极限、夹逼定理、恒等变形）求极限的方法连续性极限基本初等函数的性质及图形无穷小定义与性质无穷小阶的比较与无穷小阶的确定方法（昀大值和昀小值定理，零点定理，介值定理）函数函数基本概念25第二章导数与微分平面曲线的切线与法线平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径判断函数的凹凸性某些物理量的描述定义法分段函数求导法幂指数函数()()gxfx求导法反函数求导法变限积分求导法导数与微分的四则运算法则复合函数求导法由复合函数求导法导出的微分法则定义几何意义与物理意义相互关系可微⇔可导⇒连续奇偶函数与周期函数的导数性质导数、微分与可微概念⇐求导方法基本导数表微分法则隐函数求导法参数式求导法求某些n阶导数表达式的方法函数的可导性及导函数的连续性的判断简单应用导数与微分26第三章不定积分几何意义与物理意义原函数的存在性不定积分原函数不定积分凑微分法常用的变量代换基本积分表积分计算基本概念基本性质()d()dkfxxkfxx=∫∫F()dF()xxxc′=+∫()d()fxxfx′⎡⎤=⎦⎣∫定义积分法则分项积分法换元积分法分段积分法分部积分法有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分()())d()d()dfxgxxfxxgxx+=+∫∫∫（27第四章定积分的计算及其应用定义几何意义与物理意义函数的可积性基本概念反常积分定义计算分项积分法换元积分法分部积分法基本公式分段积分法基本积分表几何应用平面图形的面积与旋转体的体积平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、平行截面面积、已知的立体体积物理应用定积分的计算及其应用牛顿—莱布尼茨公式变限积分所定义的函数的连续性、可导性及可导公式定积分积分法则+极限运算法则若干基本的反常积分积分的计算积分法则应用变力做功、引力、压力、质心（形心）、函数平均值定积分的性质积分中值定理奇偶函数与周期函数的积分性质非负连续函数的积分性质等式表示的与不等式表示的28第五章多元函数的微分与应用多元函数、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上连续函数的性质偏导数、可微性与全微分的定义基本概念求初等函数的偏导数与全微分计算求带函数记号的复合函数的全微分及一、二阶偏导数求隐函数的一、二阶偏导数或全微分变量替换下方程的变形昀值问题应用二元函数极值判别法简单极值问题的解法条件极值问题的解法多元函数的微分与应用基本概念之间的关系两个偏导函数连续⇐⇒函数可微函数连续⇐⇒函数存在偏导数⇑⇓微分法则全微分四则运算法则复合函数求导法与一阶全微分形式不变性29第六章二重积分基本概念二重积分计算公式的应用基本性质计算在直角坐标系中化二重积分为二次定积分公式二重积分的极坐标变换计算公式怎样用计算公式及简化计算问题（先y后x与先x后y的情形）分块积分法，选择积分顺序（交换积分顺序）、是否选择极坐标、利用几何意义、利用区域对称性与被积函数奇偶性（累次积分的交换与转换）30第七章常微分方程变量可分离的方程一阶线性微分方程通解（即所有解）的结构解的叠加原理基本概念可化为基本类型的一阶微分方程二阶微分方程（含某些高价的情形）（解、阶、通解、特解、初值问题）一、二阶线性微分方程的性质基本类型齐次微分方程解法可降阶的类型二阶线性常系数微分方程齐次非齐次可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）简单应用及如何列方程利用定积分的几何意义、利用导数的几何意义、利用变化率满足的规律利用牛顿第二定律、质点运动的轨迹、微分分析法常微分方程31第二部分线性代数第一章行列式概念1nijijjAAα==∑(第i行展开)不同行，不同列的几个元素的乘积展开式中项的符号代数余子式展开公式展开式中所有项的项数为n！数字型抽象型定义法应用经转置的行列式的值不变行列式三要素性质互换行列式的两行（列），行列式变号行列式的某一行（列）所有元素都同乘以同一数k，等于用数k乘此行列式行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式于零若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和把行列式的某一行（列）的各元素同乘以常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变展开式1nijijjAAα==∑(第j行展开)公式法递推法用行列式的性质用矩阵的性质用特征值（1=niAλλ=∏）及相似性质克莱姆法则伴随矩阵求逆判定线性无关计算特征值证明0A=AA=−()rA＜n0是A的一个特征值计算特征值反证法求解线性方程组32第二章矩阵行矩阵列矩阵零矩阵反对称矩阵0TijjiiiAAaaa=−⇔=−=，m×n个数排成的n行n列的数表概念特殊矩阵单位矩阵对角矩阵0()ijaij≠≠可交换矩阵AB=BA共轭矩阵A为A的共轭矩阵正交矩阵1TTTAAAAEAA−==⇔=伴随有矩阵**AAAAAE==运算A+B，kA,AB,AT→方阵的幂An逆矩阵求法定义法AB=E(或BA=E)，则A可逆，A-1=B伴随矩阵法1*1AAA−=分块矩阵法111AABB−−−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦000，111AABB−−−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0000初等变换法1()()AEEA−→→行定义法0A≠()rAn=特征值法反证法证法初等矩阵初等矩阵P左（右）乘A所得PA（AP）就是A作3次与P同样的行（列）变换1ijijEE−=，11()()iiEkEk−=，1()()ijijEkEk−=−等价ABPAQB≅⇔=，其中P与Q可逆概念性质概念初等变换求矩阵的秩矩阵初等变换矩阵的秩33第三章向量n维向量、向量线性组合概念运算加法、数乘、内积Schmidt正交化线性表出概念判定向量组等价充要条件充分条件方程组1122nnxxxαααβ+++=有解1212(,,,)(,,,,)nnrrααααααβ=12,,nααα，线性无关，12,,,,nαααβ线性相关12,,,sααα与1,,tββ可互相线性表出线性相关概念判别充要条件充分条件齐次方程组（13,,,sααα）x=0有非零解12(,,,)srααα＜S某(1,2,,)iisα=可由其余S-1个向量线性表出n+1个n维向量多数向量可由少数向量线性表出线性无关概念判别充要条件充分条件齐次方程组（13,,,sααα）x=0只有零解12(,,,)srααα=S向量()iiα∀不能由其余向量线性表出阶梯形向量组极大线性无关组概念求法向量组的秩概念求法向量34第四章线性方程组初等行变换矩阵形式线性方程组阶梯形Ax=b有解判定r(A)=rA解的结构导出组通解向量形成11220nnxxxααα+++=＜＞有非0解12,,,nααα线性表出1122nnxxxβααα+++=＜＞解β可由12,,,nααα线性表出解的结构特解，通解自由变量解的性质若12,ηη都是Ax=b的两个解，则12ηη−是Ax=0的解若12,ξξ是Ax=0的两个解，则122kkξξ+是Ax=0的解若ξ是Ax=b的解，η是Ax=0的解，则ξη+是Ax=b的解35第五章矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义性质求法不同特征值的特征向量线性无关n重特征值至多有n个线性无关的特征向量特征值相似定义法特征多项式法0EAλ−=111,nnniiiiiiiaAλλ=====∑∑∏基础解系法()0EAxλ−=定义法性质特征向量1PAPB−=TTAB=EAEBλλ−=−11nniiiiiiab===∑∑()()rArB=AB=定义11AB−−∼（若A，B均可逆）,ABBC∼∼，则AC∼实对称矩阵特性可对角化充分条件充要条件A有n个线性无关的特征向量A是实对称矩阵A有n个不同的特征值()irEAnnλ−=−，其iλ为in重特征值与对角矩阵相似可用正交矩阵对角化特征值全是实数不同特征值的特征向量相互正交()iirEAnnλ−=−36第六章二次型合同定义充要条件充分条件（TCACB=，C可逆；A，B实对称A≌B）（7xAx与TxBx有相同的正负惯性指数）（AB∼）惯性定理正、负惯性指数标准形二次型化标准形配方法正交变换法矩阵表示TxAx二次型的秩r(f)定义充分条件TxAx＞0（0x∀≠）A为正定矩阵iia＞0A＞0正定充要条件TCACE=，其中C可逆iλ＞0（1,,in=）TACC=，其中C可逆顺序主子式全大于0正惯性指数P=n