近独立粒子的最概然分布

1热力学与统计物理学的研究方法统计物理是热运动的微观理论。认为宏观物质系统由大量微观粒子组成。宏观性质是大量微观粒子的集体表现,宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。热力学是热运动的宏观理论。以实验总结的定律出发,经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系,宏观过程进行的方向和限度,从而揭示热现象的有关规律。16-4.282微观粒子观察和实验出发点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质二者关系无法自我验证不深刻缺点揭露本质普遍，可靠优点统计平均方法力学规律总结归纳逻辑推理方法微观量宏观量物理量热现象热现象研究对象微观理论（统计物理学）宏观理论（热力学）3热力学规律:确定性的理论.在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于一定状态.统计规律:非确定性的理论.由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作用的随机性,无法跟踪单个粒子进行研究,也使得系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律.4统计规律性的特点(1)对大量随机事件整体起作用,对少量粒子组成的系统失去意义。(2)在一定的宏观条件下,某一时刻系统处在哪一个微观态是偶然的,但处于某一微观态的概率是确定的。改变宏观条件,不仅微观态发生变化,而且系统处在一微观态的概率也随之改变。(3)统计规律永远伴随着涨落。5第六章近独立粒子的最概然分布6§6.1粒子运动状态的经典描述一.粒子的状态描述粒子是指组成物质系统的基本单元。如气体的分子、金属的离子和电子等等。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。7rrppppqqqq,,,,,,321321广义动量：广义坐标：）；（＝能量rrpppqqq,,,,2121粒子的自由度数r：能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目。自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r个广义坐标和广义动量确定。经典描述：代数描述8μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。）；空间：（rrpppqqq,,,,2121空间：用共2r个变量为直角坐标，构成的2r维空间。rrpppqqq,...,,;,...,,2121几何描述eg：三维空间9一、自由粒子自由度：3μ空间维数：6zmppymppxmppzyx321广义动量：能量(动能)：)(21222zyxpppm能量球mr2zqyqxq321广义坐标：自由粒子：不受力的作用作自由运动的粒子。当不存在外场时，理想气体的分子或金属中的自由电子都可看作自由粒子。mpppzyx2222为三维坐标中的一个球，其半径为10一维自由粒子的运动状态x和xp为直角坐标，构成二维的空间。L，则x可取由0到L间的任何数值，xp可取到间的任何数值。粒子的一个运动状态),(xpx可以用空间在上述范围内的一点表示。当以动量xp在容器中运动时，粒子运动状态代表点在空间的轨道x轴的一条直线。以设一维容器的长度为是平行于11*对于三维自由粒子，空间是6维的，可以分解为三个二维的子空间，在一个子空间描述沿一个坐标轴的运动二、线性谐振子质量为的粒子在弹性力作用下,将在原点附近作圆频率为的简谐振动，称为线性谐振子。mAxfmA例如，在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动。12能量(动能和弹性势能之和)：自由度：1μ空间维数：2xmp广义动量：能量椭圆122222mxmpxq广义坐标：一维线性谐振子2222221222xmmpxAmp以x，p为直角坐标，构成二维空间，振子在任一时刻的运动空间中的一点表示，当振子的运动状态随时间而变时，空间为一条轨道，该轨道为一椭圆：状态由运动状态的代表点在13122222mxmp椭圆的两个半径为m2、22m椭圆面积为211rr振子能量可取任何正值，能量不同，可以作不同的椭圆。14考虑质量为的质点被具有一定长度的轻杆系于原点时所作的运动。mO质点在直角坐标下的能量：)(21222zyxm用球坐标描述质点的位置cossinrxsinsinrycosrz三、转子r，，15sinsincoscoscossinrrrxcossinsincossinsinrrrysincosrrz)sin(21222222rrrm0r考虑质点和原点的距离保持不变，于是)sin(2122222rrm考虑质点和原点的距离保持不变，考虑质点和原点的距离保持不变16共轭动量为：2mrp，22sinmrp∴其中2mrI是质点对原点O的转动惯量)sin(2122222rrm广义坐标：)2~0(),~0(21qq广义动量：22221sinmrppmrpp)sin1(21222ppI自由度：2，上述研究对象为转子：它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位角，确定。空间维数：417双原子分子的力学模型：将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为和的两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题，即将公式中的换成约化质量1m2mm2121mmmm1m2m质心18根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。由于垂直于，质点的运动是在垂直于的平面内运动。如果选择轴平行于，质点的运动必在平面上，这时能量简化为prMrMM2xyIMIp2222zM02mrp1920§6.2粒子运动状态的量子描述微观粒子(光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等)普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）德布罗意关系：kp德布罗意波：能量为、动量为p的自由粒子联系着圆频率为、波矢为k的平面波，即德布罗意波。波矢k的方向是平面波传播的方向，k2适用于一切微观粒子17-5.221普朗克常量：sJ10055.1234hsJ10626.634h量纲：[能量][时间]＝[长度][动量]＝[角动量][时间][能量]：是力学中作用量的量纲，因此*用宏观现象的单位来度量时，反之，宏观世界用作用量为单位时，其参量将有非常大的数。也称基本作用量子的数值很小；普朗克常量提供了一个判据(经典描述和量子描述的判据)：当一个物质系统的任何具有作用量量纲的物理量具有与相比拟的数值时，这个物质系统是一个量子系统；反之，物理量用来量度，数值非常大时，该系统为经典系统。22不确定关系微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。q表示粒子坐标q的不确定值，p表示相应动量p的不确定值。hpq****其他教材给出：42hpqh是数值很小的量∴测不准关系23说明：(1)如果粒子的坐标具有完全确定的数值0q粒子的动量将完全不确定p(2)如果粒子的动量具有确定的数值0p粒子的坐标将完全不确定q*由于普朗克常量数值非常小，因此不确定关系只适用于微观粒子，它与宏观物理学的经验知识不发生矛盾。结论：粒子的运动不是轨道运动。24微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。微观粒子的能量是不连续的,称为能级。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。25四个量子数[对于电子而言]主量子数n角量子数l：从0到1n共n个正整数),,,,(fdps磁量子数zm：描述电子在空间的伸展方向，zm从l到l自旋量子数Sm：自旋的两个方向，21Sm：轨道的能级取值26一、自旋电子、质子、中子等粒子具有自旋角动量和自旋磁矩meS自旋角动量在z方向上的投影只能取两个值21SzmS在外场B中的势能为BmeBmemBUS221Sm自旋量子数为在外场B中的磁矩为mememSz2质量为m，电荷e，自旋量子数21的粒子，自旋磁矩和自旋角动量S之间的关系为：27二、线性谐振子,2,1,0)21(nnn圆频率为的线性谐振子的能量可能值为所有能级等间距，均为。能级为非简并。n是表征线性谐振子运动状态和能量的量子数。分立的能量称为能级。28三、转子,2,1,0)1(22lllMlllmmMZ,,1,,转子的能量量子理论要求经典理论中，2M可以取任何正值角动量在z轴的投影*在量子理论中，自由度为2的转子用l，m两个量子数表征。IMIp222229Illl2)1(2,2,1,0l基态非简并，激发态简并，简并度：12lm描述运动平面空间的伸展方向，与经典理论中的m只取分立值，称为空间量子化。*量子数运动平面的取向相对应。在经典理论中，运动平面在空间趋向是任意的，而在量子理论中30四、自由粒子一维自由粒子,2,1,0,2,2,1,0,22,2,1,0,xxxxxxxxxxxnnLpkpnnLkknnL代入德布罗意关系式：又：考虑处于长度为的一维容器中自由粒子的运动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意波长满足L波动性31因此，一维自由粒子的量子数：1个xnLnmmpxxnx222222,2,1,0xn基态能级为非简并，激发态为二度简并。32三维自由粒子zzyyxxnLpnLpnLp222,2,1,0,,zyxnnn考虑处于长度为的三维容器中自由粒子的运动状态。假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能值为L33量子数：3个zyxnnn,,2222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyxn基态能级为非简并，激发态为多重简并。能量的可能值为34（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。222zyxnnn对于1222zyxnnn3222mL有六个量子态与之对应，)1,0,0()1,0,0()0,1,0()0,1,0()0,0,1()0,0,1(所以该能级为六度简并，而基态为非简并。能量值决定于35（2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在体积内，在一定的动量范围内的自由粒子量子态数。3LV例1.体积3LV内，在一定动量范围内(xp到xxdpp，yp到yydpp，zp到zzdpp)的自由粒子量子态数和态密度解：3LV内，xp到xxdpp，yp到yydpp，zp到zzdpp范围内可能的xp，yp，数目为zpzzyyxxdpLdndpLdndpLdn22218-5.736在体积3LV内，在一定动量范围内(xp到xxdpp，yp到yydpp，zp到zzdpp)的自由粒子量子态数zyxzyxzyxdpdpdphVdpdpdpLdndndn33)2(微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义动量来描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元，而不是