近独立粒子最概然分布

近独立粒子最概然分布近独立粒子最概然分布一、统计物理发展麦克斯韦1860速率分布玻耳兹曼1872给出熵从统计的意义在速度分布律中引进重力场并证明速度分布律1876输运过程数学理论给出近独立粒子的最可几分布经典玻耳兹曼统计分布吉布斯1902出版统计力学书把麦克斯韦，玻耳兹曼创立的统计方法推广发展成为系统理论。创立统计系综论统计力学应用到气体，液体，固体成功。上下目前，统计主要有三种：一种是Maxwell-Boltzmann统计，通常称为Boltzmann统计。1900年Plonck提出了量子论，引入了能量量子化的概念，发展成为初期的量子统计。在这时期中，Boltzmann有很多贡献，开始是用经典的统计方法，而后来又有发展，加以改进，形成了目前的Boltzmann统计。上下•1924年以后有了量子力学，使统计力学中力学的基础发生改变，随之统计的方法也有改进，从而形成了Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计，分别适用于不同体系。但这两种统计在一定条件下通过适当的近似，可与Boltzmann统计得到相同结果。二、统计规律性建立在力学规律基础上，而又与力学运动规律有本质区别的大量粒子的集体的运动规律叫统计规律性。系统中个别粒子遵循牛顿力学（或量子力学）运动规律，实际中，既不可能也不必要去解每个粒子的运动方程。上下上下不可能:系统中每个粒子f个自由度，用f个广义坐标q1,q2……qf,f个广义动量P1，P2……Pf描述粒子力学状态，系统N个粒子要N组（qi,pi）描述状态，列出运动方程。由牛顿力学知，给定初始时刻qipi可确定任何时刻t的piqi值，即确定运动状态。不必要:系统的宏观热力学性质（如T，P）不是每个粒子运动行为的机械叠加。如理想气体压强公式knvmnP0203231下上统计规律不能单值地预言某一时刻系统出现何种运动状态，而是认为在一定条件下，系统处于何种状态是偶然的，但各种运动状态均有一定出现的可能性，整个系统处于什么状态是偶然的，而不能说一定出现什么状态，只要宏观条件一定，系统中大多数粒子可能取什么状态，或系统最可能出现什么状态是必然的。什么是统计规律性大量偶然性从整体上所体现出来的规律性。下上统计规律有以下特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律统计规律一般包括两方面内容：（1）研究一些量的统计平均值（2）研究一些量的分布规律（某个量对大量偶然事件的分布规律）上下§6.1粒子运动状态的经典描述一、统计系统分类组成系统的微观粒子分成两类，经典粒子和量子粒子1.经典粒子凡在运动中遵从牛顿力学规律的粒子，称为经典粒子。特征1）经典粒子具有颗粒性——有确定的位置和动量.2）经典粒子的运动是轨道的.3）相同粒子可区分。4）能量连续。上下2.量子粒子性凡是遵从量子力学运动规律的粒子称为量子性粒子主要特征1）能量量子化2）波粒二象性3）测不准关系4）全同性原理，量子粒子的分类：费米子玻色子费米子：遵从泡利不相容原理，自旋为半整数。遵从费米狄拉克统计玻色子：不遵从泡利不相容原理，自旋为整数遵从玻色——爱因斯坦统计组成系统的粒子经典粒子经典玻尔兹曼统计量子粒子费米子——费米狄拉克统计玻色子——玻色爱因斯坦统计下上下上二、经典μ空间在任一瞬间的运动状态可由三个空间坐标X，Y，Z三个动量Px，Py,Pz来确定考虑单原子分子组成的气体——最简单的系统N代表分子总数，那么每一个分子全体分子需6N个量来确定想象一个六维空间，其坐标轴为X，Y，Z，Px，Py，Pz，每一个点的坐标（X，Y，Z，Px，Py，Pz）与一个分子的运动状态相对应，能把分子的空间位置与动量（速度）一起表示出来。下上一般的，当粒子的力学自由度为f时，用f个广义坐标，（q1,q2……,qf）f个广义动量（p1,p2,……pf）为轴，构成一个2f维正交空间，这样的空间叫分子空间，或叫μ空间，μ空间定义在相空间中每个点对应粒子的一个状态——叫代表点任一时刻N个分子在相空间中对应N个代表点——由此确定系统的一个微观状态。下上相体积元：把这个相空间分成许多体积元zyxpppzyxzyxdpdpdxdydzdpdffpppqqq2121或一般的（六维μ空间）ffdpdpdpdqdqdqd2121（2f维μ空间）下上包括在这个体积元中的点，对应位置在：X—X+dX，Y—Y＋dY，Z—Z＋dZ，动量在：Px—Px＋dPx，Py—Py＋dPy,Pz—Pz＋dPz范围内的粒子，认为粒子是近独立的，除动能外没有其它的能量，对应一个的动量范围也就是对应一定的能量范围，相格：把相体元划为更小的相等的体积元——相格，宏观足够小，微观足够大。同相格中点有相同的状态，不同相格代表不同的状态，相邻相格不突变。下上相格数计算例、粒子在体积为V的容器作三维自由运动的假设，每个相格大小为考虑容器中的动量在范围内的相格数。zyxpppzyxVdxdydzzyxzyxpppVpppdxdydz相体元求整个容器对所以积分zzzyyyxxxdpppdpppdppp3h下上221iipmiiippm1iiimp22相格数(粒子的状态数为)33hpppVhgzyxi因为iiiizyxmppppp322443324hmVgiii所求范围在动量空间是一球壳，球壳体积为PZPyPxiPiiPPiii下上三、量子性粒子的半经典描述hpqfffhpppqqq2121认为近独立的粒子系统，用μ空间描述，又和经典粒子有区别。例如，二维，要求相体元（相格）一般的，此处h是普朗克常数，不是任意的每个相格对应量子一个状态——量子态。下上1）能量量子化，的值是不连续的。如三维自由粒子（量子）每个相体积元包括的相格数（状态数）仍为但是，a）p取值是不连续的，动量空间球壳是分离的b）h是普朗克常数。2）对费米子：泡利不相容原理要求每个量子态（相格中）至多一个费米子(一个代表点)对玻色子：每个量子态上可有多个代表点。3）简并：一能层对应多个量子态简并度：同一能层具有的量子态数。注意：3324hmVgiii下上§6.4等概率原理一、微观态和宏观态微观态：从经典力学角度看，虽然由同一种物质组成的粒子系统，粒子还是可以编号，不妨把N个粒子编码为a,b,c,d,······，如果在某一时刻，粒子a,b,c,d……粒子的坐标与动量都确定了，则整个系统在这一时刻的运动状态便确定了，用这种方法确定的整个系统的运动状态称为系统的微观状态对于量子性粒子：加以排列组合，一种排列组合是一种微观态宏观态:在热力学中，是用一些宏观参量（如体积V，温度T,压强P）来确定系统的状态，用这种方法描述的状态称为宏观态.下上如果三个经典粒子a,b,c在分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的容器中下上abccabbcaacbcbbaacⅠⅡⅢⅠⅡⅢabcabcabcⅠⅡⅢⅠⅡⅢ每一个具体分布微观态每一种分布（宏观可区分）宏观态每一个微观态都对应着一个宏观态，而一个宏观态可对应若干个微观态.（微观态）（宏观态）（微观态）（宏观态）下上二、等概率原理玻尔兹曼假设（等概率原理）孤立系统处于平衡态时，系统所有微观态出现的几率是相等的。各种宏观态不是等几率的。那种宏观态包含的微观态数多，这种宏观态出现的可能性就大。宏观态出现的几率∝它的微观态数目如，微观态总数为Ω，则每一微观态实现的几率是1/Ω，若某一宏观态对应的微观态数为W，则此宏观态实现的几率是W/Ω。热力学几率:一个宏观态所具有的微观态数目W上下找出微观态最多的宏观态或热力学几率最大的宏观态热力学平衡态。这一宏观态对应的粒子按能层的分布就是近独立粒子系统的最可几分布。步骤：写出热力学几率的几率W的计算公式用变分法求出极大值的分布。最可几（概然）分布：某一宏观态包含的微观态数最多，这个宏观态是最可能实现的状态，它所对应的分布是最可几(概然)分布。上下§6.5分布和微观状态一、排列和组合1.选排列:)!(!)1()2)(1(knnknnnnAkn2、全排列:!123)2)(1(nnnnAPnnn3、有重复的排列:kknnA4、组合:!)!(!!kknnkACknkn5.多组组合:把n个不同元素分成m组，第I组中有个不同元素，即这样分的种数!!!!21211mnnnnnnnnnnnnCCCmmnnnnnnmi21in上下二、三种系统的分布),2,1(llll设系统总能量为E，总粒子数为N，总体积V，以表粒子数能级,表能级的简并度，N个粒子在各能级的分布体元能级简并度粒子数l21,l,,21l,,21laaa21,上下}{lalaaa21,以符号表示数列称为一个分布。显然应有NalEall1、经典粒子N个粒子按不同能量分成L组（进入能层）分组数!!3212111laaaNaaNaNaNCCCW上下iai个粒子分到状态中的方法数llallalaaW21212实现一个种宏观分布对应的微观态数lalllBMaNWW!!212、玻色子ll首先计算个粒子占据能级上的个量子态有多少中可能的方式。lala上下5个量子态和10个粒子的一种排列①◇◇②◇③④◇◇◇⑤◇◇◇◇lal所以个粒子分到状态中的方法数)!1(!)!1(lllllaaW1a1所以个粒子分到状态中的方法数)!1(!)!1(11111aaW………………上下lal个粒子分到状态中的方法数)!1(!)!1(lllllaaW所以实现一个宏观分布对应的微观态数)!1(!)!1(llllBEaa3.费米子对任一能级l状态数l粒子数la)!(!!llllalaaCWll每次从个状态中取出个，放粒子种数为llallala上下)!(!!1111111aaCWa)!(!!llllalaaCWll)!(!)!(lllllFDaalal现共有L组，每一组粒子，进入状态方法数是………………………所以费米子实现一个宏观分布对应的微观态数对玻色系统，若，即任一能级上的粒子数远小于该能级量子态数（状态数）则llalla上下)!1(!)!1(lllllBEaa!)2)(1(lllllllaaa!!NaBMlalll对费米系统)!(!)!(lllllDFaa!)1()1(llllllaa!!NaBMlalll称为经典极限条件。lla§6.6玻尔兹曼分布一、数学上的补充上下1.斯特林公式)1(ln!lnmmm1m当时2.拉格朗日不定乘法设函数),(21nxxxff在约束条件0),,(21nkxxxk=1,2……m求极值上下令kmkkfF1k其中为不定乘子，则极值点的坐标值由满足下述联立方程求出：0iXFi=1,2……n0kk=1,2,……m二.玻尔兹曼分布系统满足llaNlllaE（1）（2）上下条件下求lallllBMaNWW!!21的极大值应用斯特林公式要求上式变为)1,1(laN取Ω的对数lllllLnaLnaLnNLn!!llllllLnaLnaaLnNNLn)1()1(llllllllLnaaLnaaNNLnNllllllLnaLnaaNLnN在条件（1），（2）约束下，求LnΩ的极大值，用拉格朗日不定乘子法，取（1）式的不定乘