2019届高三文数一轮复习第3节-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

︱高中总复习︱一轮·文数第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题︱高中总复习︱一轮·文数考纲展示1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知识梳理自测考点专项突破︱高中总复习︱一轮·文数知识梳理自测把散落的知识连起来【教材导读】1.目标函数z=ax+by(ab≠0)中z有什么几何意义?其最值与b有何关系?提示:目标函数z=ax+by可转化为y=-abx+zb,其中zb是直线y=-abx+zb的截距.当b0时,截距zb取最大值时,z也取得最大值;截距zb取最小值时,z也取最小值;当b0时,截距zb取最大值时,z取最小值;截距zb取最小值时,z取最大值.2.最优解一定唯一吗?提示:不一定.当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时,最优解可能有多个甚至无数个.︱高中总复习︱一轮·文数知识梳理1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的,叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.2.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括.Ax+By+C≥0包括.不等式组各个不等式所表示平面区域的.有序数对(x,y)有序数对(x,y)边界边界公共部分︱高中总复习︱一轮·文数(2)平面区域的确定对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号即可断定Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.相同︱高中总复习︱一轮·文数3.线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的.线性约束条件由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或的函数线性目标函数关于x,y的解析式可行解满足的解(x,y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题不等式(组)一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值︱高中总复习︱一轮·文数双基自测1.(2016·漳州模拟)图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是()(A)x-y-1≥0(B)x-y+1≥0(C)x-y-1≤0(D)x-y+1≤0A解析:直线对应的方程为x-y-1=0,当x=0,y=0时,0-0-10,即原点在不等式x-y-10对应的区域内,则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0.︱高中总复习︱一轮·文数2.下列命题①二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的上方区域.②点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.③第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.其中正确的命题个数是()(A)1(B)2(C)3(D)0解析:当A0,B0时,Ax+By+C0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的下方区域,故①不正确,②③均正确.B︱高中总复习︱一轮·文数3.(2015·全国Ⅰ卷)若x,y满足约束条件20,210,220,xyxyxy则z=3x+y的最大值为.解析:作出不等式组所表示的可行域(如图中阴影部分所示),作直线l0:3x+y=0,平移直线l0,当直线3x+y=z过点(1,1)时,zmax=3+1=4.答案:4︱高中总复习︱一轮·文数4.某厂生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克,生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克;A原料每日供应量限额为60千克,B原料每日供应量限额为80千克.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上,若设每天生产甲产品x件,乙产品y件,用不等式(组)表示上述关系式为.解析:由已知,得需用A原料(2x+3y)千克,需用B原料(4x+2y)千克,且乙产品与甲产品的差不大于10,故可得不等式组2360,4280,10,0,0.xyxyyxxy答案:2360,4280,10,0,0xyxyyxxy︱高中总复习︱一轮·文数考点专项突破在讲练中理解知识考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(2015·重庆卷)若不等式组20,220,20xyxyxym表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()(A)-3(B)1(C)43(D)3︱高中总复习︱一轮·文数解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m-1.由20,20,xyxym解得1,1,xmym即A(1-m,1+m).由220,20,xyxym解得24,3322,33xmym即B(23-43m,23+23m).因为S△ABC=S△ADC-S△BDC=12(2+2m)[(1+m)-(23+23m)]=13(m+1)2=43,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.︱高中总复习︱一轮·文数反思归纳(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应于特殊点异侧的平面区域.(2)当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.︱高中总复习︱一轮·文数跟踪训练1:(2016·山西忻州一模)不等式组2,24,0xyxyxy所围成的平面区域的面积为()(A)32(B)62(C)6(D)3解析:由题中已知条件可知可行域如图所示.由直线的斜率关系可知∠ABC=90°,易知A(4,4),B(1,1),C(2,0),所以|AB|=32,|BC|=2,所以可行域的面积S=12|AB|×|BC|=12×32×2=3.故选D.︱高中总复习︱一轮·文数考点二目标函数的最值问题★★★★考查角度1:求线性目标函数的最值【例2】导学号94626177(2016·北京卷)若x,y满足20,3,0,xyxyx则2x+y的最大值为()(A)0(B)3(C)4(D)5︱高中总复习︱一轮·文数解析:线性约束条件表示如图所示阴影部分,设z=2x+y,则y=-2x+z,平移直线y=-2x,过点A时z取最大值.解方程组3,20.xyxy得A(1,2).所以z最大=2×1+2=4.选C.反思归纳利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可行域;(2)将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点;(3)将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.︱高中总复习︱一轮·文数考查角度2:非线性目标函数的最值【例3】(1)(2017·安徽淮北模拟)已知实数x,y满足约束条件210,10,0,0,xyxyxy则321xyx的取值范围是.︱高中总复习︱一轮·文数解析:(1)已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,321xyx=1+3×11yx,设z=11yx,其几何意义是已知区域内的点(x,y)与点P(-1,1)连线的斜率,故z的最小值为OP的斜率-1,z的最大值为PA的斜率,因为A(2,3),所以PA的斜率为3121=23,所以321xyx的取值范围为[-2,3].答案:(1)[-2,3]︱高中总复习︱一轮·文数(2)(2016·山东卷)若变量x,y满足2,239,0,xyxyx则x2+y2的最大值是()(A)4(B)9(C)10(D)12解析:(2)作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.答案:(2)C︱高中总复习︱一轮·文数解析:(3)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x-4y-13=0,结合图形可知,在该平面区域内所有的点中,到直线3x-4y-13=0的距离最近的点是(1,0).又点(1,0)到直线3x-4y-13=0的距离等于|314013|5=2,则|3x-4y-13|的最小值为10.故选D.(3)导学号49612172已知点P(x,y)的坐标满足条件1,1,350,xyxxy那么|3x-4y-13|的最小值为()(A)115(B)2(C)95(D)10答案:(3)D︱高中总复习︱一轮·文数反思归纳求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解.常见非线性目标函数类型及其几何意义(1)22xy表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,22xayb表示点(x,y)与点(a,b)的距离.(2)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,ybxa表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)22||AxByCAB表示点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离.︱高中总复习︱一轮·文数考点三线性规划的实际应用【例4】(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128(A)12万元(B)16万元(C)17万元(D)18万元︱高中总复习︱一轮·文数解析:设生产甲x吨、乙y吨,则有目标函数z=3x+4y,依题意得约束条件为3212,28,0,0,xyxyxy易知最优解为(2,3),代入目标函数可得z的最大值为18,故选D.︱高中总复习︱一轮·文数反思归纳解决线性规划应用题的一般步骤(1)认真审题,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数.(2)作出可行域.(3)作出目标函数值为零时对应的直线l0.(4)在可行域内平行移动直线l0,从图中能判定问题有唯一最优解或有无穷最优解或无最优解.(5)求出最优解,从而得到目标函数的最值.︱高中总复习︱一轮·文数跟踪训练2:(2016·陕西汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨,煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.解析:设生产甲产品x吨,生产乙产品y吨,由题意知313,2318,0,0,xyxyxy利润z=5x+3y,作出可行域如图中阴影部分所示.求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知,当x=3,y=4,即生产甲产品3吨,生产乙产品4吨时可获得最大利润27万元.答案:27︱高中总复习︱一轮·文数【例1】(2016·衡阳二模)如果不等式组0,2,10xyxkxy表示的平面区域是一个直角三角形,则该三角形的面积为()(A)12或15(B)12或13(C)15或14(D)14或12备选例题︱高中总复习︱一轮·文数解析:有两种情形:(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成(如图),则2×k=-1,所以k=-12,y=2x与-12x-y+1=0的交点坐标为(25,45),三角形的三个顶点为(0,0),(0,1),(25,45),所以该三角形的面积为S=12×