空间向量及其运算

§8.5空间向量及其运算1．空间向量的概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．(2)向量的夹角：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA→和OB→，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，0≤〈a，b〉≤π.2．共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23(a≠0，b≠0).1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．(×)2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c答案A解析BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE→＝AA1→＋xAB→＋yAD→，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝12C．x＝12，y＝12D．x＝12，y＝1答案C解析如图，AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)．4．同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是_______________．答案13，－23，23或－13，23，－23解析设与a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同时垂直的单位向量是c＝(p，q，r)，则p2＋q2＋r2＝1，2p＋2q＋r＝0，4p＋5q＋3r＝0，解得p＝13，q＝－23，r＝23，或p＝－13，q＝23，r＝－23，即同时垂直于a，b的单位向量为13，－23，23或－13，23，－23.5．在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示)．答案12a＋14b＋14c解析OE→＝12OA→＋12OD→＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.题型一空间向量的线性运算例1三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________；(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________.答案(1)A1A→(2)12AB→＋12AD→＋AA1→解析(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.(2)OC1→＝OC→＋CC1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.题型二共线定理、空间向量基本定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．思维启迪对于(1)只要证出向量EG→＝EF→＋EH→即可；对于(2)只要证出BD→与EH→共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM→可由向量OG→和OE→表示，再将OG→与OE→分别用向量OC→，OD→和向量OA→，OB→表示．证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝1212OA→＋OB→＋1212OC→＋OD→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明AB→，AC→共线，亦即证明AB→＝λAC→(λ≠0)．(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为________．答案平行解析取AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c为基底，易得EF→＝－13(a－b＋c)，而DB1→＝a－b＋c，即EF→∥DB1→，故EF∥DB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形AB­CD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a|2＝a·a可以求线段长；利用cosθ＝a·b|a||b|可求两条直线所成的角．(1)证明设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN→⊥AB→.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)解由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，∴|MN→|2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝14[a2＋a2＋a2＋2(a22－a22－a22)]＝14×2a2＝a22.∴|MN→|＝22a.∴MN的长为22a.(3)解设向量AN→与MC→的夹角为θ.∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，∴AN→·MC→＝12(q＋r)·(q－12p)＝12(q2－12q·p＋r·q－12r·p)＝12(a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°)＝12(a2－a24＋a22－a24)＝a22.又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→||MC→|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22.∴cosθ＝23.∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.思维升华(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈(0，π2]，θ∈[0，π]，所以cosα＝|cosθ|＝|a·b||a||b|；(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝a2转化为向量求解．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(2)方法一∵ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.“两向量同向”意义不清致误典例：(5分)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．易错分析将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义：a·b方向相同或相反．解析由题意知a∥b，所以x1＝x2＋y－22＝y3，即y＝3x①x2＋y－2＝2x②把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2，或x＝1当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当x＝－2y＝－6时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．当x＝1y＝3时，b＝(1,2,3)＝a，a与