基本不等式(均值不等式)技巧

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）(4)，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。2.当时，求(82)yxx的最大值。3：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。4、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。5已知，且满足，求的最大值.6已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.7若且,求的最小值.技巧一答案：1解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3、解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。4解析：0,0xy3212xylglgxy,,0abc()423aabcbc2abc21(1)2(1)yxxx21(1)1(1)2(1)xxx21111(1)222(1)xxxx3211131222(1)xxx31252，当且仅当211(1)22(1)xxx即2x时，“=”号成立，故此函数最小值是52。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。5、分析,是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，而已知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值是.6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤3427分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.lglglg()xyxyxyxy3x2y12xy326xy220,032lglglg()lg6132112lglg6262lg6xyxyxyxyxy解：32xy2,3xylglgxylg62abab2abc()()abac()()abac423技巧二：分离或裂项1.求2710(1)1xxyxx的值域。2求函数1+=1+2xyxx（）（）的值域.1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。2、解：可将上式转化为所以值域为：11-][-,+)22-322+3（，技巧三：换元1、求2710(1)1xxyxx的值域。2、求函数的最大值.2,,0,2()()2()()22423232,,31.2232.abcabcabacabacaabacbcbcbcaabc解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为225xyx2+1[1-1][1+2(x+1-1)]+11==12+1-3(1++21+-3+1xyxxxxxx（）（）（）（））1（）（）-1+1011+21+y+122-3-1-+1111+21+=-+2-1--,-+1--122+3xxxxxxxxyxx当时，（）22，此时（）当时，（）0（）（（））22此时（）（）3、、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。4、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()AymgxBABgx，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。2分析可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.3、解法三：（三角换元法）令228sin1cosxxxy则有228sin1cosxxyx22822sincosxyxx2222228csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx22102(8cot)(2tan)xx18，易求得12,3xy此时时“=”号成立，故最小值是18。2xt222,0,2,(0)2100;1120141222122=.232,.24xttxttytttytytttttttx解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时取最大值为技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.3、设为正实数，，则的最小值是.1解法：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx162(8)10188xx。当且仅当1688xx即12,3xy此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。3分析本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.技巧五：整体代换(条件不等式),,xyz230xyz2yxz32xzy2yxz,xz22223,0,,29666=3,443,,=33.xzxzyyxzxzxzxzxzxzxzyxzxyzyxz解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为1：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。2、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。1．错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值2、解法：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10xyxyxyyx1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是18。技巧六：转化为不等式1.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.2、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。1解：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118点评：①本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.1解法：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。又23()2xyxyxy2()4()120xyxy2()6xyxy舍或，当且仅当3xyxyxy且即3xy时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)技巧六：取平方1、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.2:求函数152152()22yxxx的最大值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a＋b2≤a2＋b22，本题很简单3x＋2y≤2（3x）2＋（2y）2＝23x＋2y＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝25解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx