信号分选与数字滤波

信号分选与数字滤波实验报告刘伶【摘要】：本实验是设计一数字化接受系统，分出具有两个位于不同频率范围的接受信号，并对输入信号r(t)及分选出来的两路信号进行频谱分析。首先分析了输入信号类型和频谱，设计出可行的信号分选方案，确定了信号将通过的两个滤波器的类型以及必须满足的硬性指标。然而为实现信号分选与数字滤波的功能，我们先采用奈奎斯特律采样定律对信号进行A/D转换，并推导了经采样的信号如何利用FFT/DFT变换复原的原理。接下来对于系统的性能我们采用差分方程描述，并得出其传输函数的形式以及如何由传输函数得到一个实现的结构框图。最后，我们由巴特沃斯低通和高通滤波器的设计方法给出了两个滤波器较为合理的指标，通过编程最终确定了IIR滤波器传输函数的系数和表达式，画出系统的频率响应。关键词：奈奎斯特律、FFT/DFT、信号卷积、数字滤波理论Abstract:Thisexperimentistodesignadigitalreceivingsystem,separatewithtwolocatedindifferentfrequencyrangeofthereceivesignals,andtheinputsignalR(T)spectrumanalysisandsortingoutofthetwosignals.Firstanalyzestheinputsignaltypeandspectrum,designedsignalsortingschemeisfeasible,thesignalwillbetwotypesoffiltersandmustmeetthemandatoryindex.However,inordertorealizethesignalsortingandfilteringfunction,weuseNyquistsamplingtheoremforA/Dconversionlawofsignal,andtheprincipleofhowtouseFFT/DFTtotransformthesampledsignalrestorationderivation.Nexttotheperformanceofthesystemweusethedifferenceequation,andobtainthetransferfunctionintheformofthetransferfunctionandhowtogetanapplicationstructurediagram.Finally,wedesignedbythemethodofButterworthlowpassandhighpassfilterisgiveninthetwofiltermorereasonabletarget,throughtheprogrammingandultimatelydeterminethecoefficientandtheexpressionofIIRfiltertransferfunction,drawthesystemfrequencyresponse.KeyWords:NyquistlawFFT/DFTconvolutiondigitalfilteringtheory引言数字滤波器一词出现在60年代中期。它是对数字信号进行滤波处理以得到期望的响应特性的离散时间系统。作为一种电子滤波器，数字滤波器与完全工作在模拟信号域的模拟滤波器不同。数位滤波器工作在数字信号域，它处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1／2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。LTI离散时间系统的传输函数通常可以根据其相位响应特征或频率响应特征分类。对于具有理想幅度响应的数字滤波器，我们将频率响应为1的频率范围称为通带，将频率响应为零的频率范围称为阻带，由此可分将滤波器分为低通、高通、带通、带阻和全通等类型。对于通带滤波器，其通带和阻带分别是0,。对于高通滤波器，其通带和阻带分别是,0。对于带通滤波器，通带区间是0和阻带区间是。对于阻带滤波器，通带区间是，阻带区间是0和。他们都对输入信号的不同频率成分有不同的幅度响应，从而依据输入信号的频率对输入信号进行分离或加工。1．实验内容：设计一数字化接受系统，分出具有两个位于不同频率范围的接受信号r(t)，并对输入信号r(t)及分选出来的两路信号进行频谱分析。假设数字接收机接受的信号为：上式中对于第一个信号分量，载波信号幅度A1=5V,载波信号频率f1=2.45GHz,高斯包络脉冲宽度=20ns；对于第二个信号分量，载波信号幅度A2=2V,载波信号频率f1=5.8GHz,高斯包络脉冲宽度=10ns。2.设计方案：2.1系统分析：分析接受信号r(t)只信号含两个分量，其载波频率分别是2.45GHz和5.8GHz,两信号频率之差,很容易通过不同类型的滤波器分离并回复出来。可以让信号通过低通或高通滤波器，并让信号通过高通或带通滤波器。类型和参数要求必须满足：信号分量r1(t)r2(t)低通滤波器截止频率：fsmax5.8GHz，高通滤波器截止频率：fsmin2.45GHz带通滤波器中心频率：2.45GHz中心频率：5.8GHz带宽50MHz带宽100MHz2.2结构框图：3.具体实现表1：滤波器选类型选择与要满足的指标3.1信号分析：3.11输入信号：由表达式很容易画出输入信号r(t)的时域图（编程见lbq1.m）：它是两个包络分别是衰减的指数函数、的不同频率余弦信号的线性组合。其衰减快慢和T1与T2有关。3.12信号分量1：信号分量,中心频率是f1=2.45GHz,包络是。由其包络的高斯脉冲宽度是可知T1=10ns（高斯脉冲宽度是幅值下降为最大幅值的时的自变量值与中心值之差的2倍,若f(t0)/f(t)=e,则脉宽）。其时域和频域表达如下(编程见lbq2.m)：注：水平有限，因其连续时间傅里叶变换的频域表达式无法求出，画频谱图是对信号采样后求离散时间傅里叶变换，结果好像不对。图2：输入信号r(t)的时域表达图3：信号分量1时域、频域表达3.13输信号分量2：对输入信号2：，频率是f2=5.8GHz,包络是。由其包络的高斯脉冲宽度是可知T2=5ns（高斯脉冲宽度是幅值下降为最大幅值的时的自变量值与中心值之差的2倍,若f(t0)/f(t)=e,则脉宽）。其时域和频域表达如下(编程见lbq3.m)：注：频域表达好像也不对，与信号分量1一样，连续时间傅里叶变换表达式也没法求出来，也是采样后由离散时间傅里叶变换求得。3.2信号采样与还原：3.21奈奎斯特律采样设ga(t)是连续时间信号，在t=nT时均匀抽样得到序列g[n],其中：T即抽样周期，T的倒数为抽样频率FT=1/T。ga(t)的频域表示由其连续时间傅里叶变换给出：-idjtagttg[n]的频域傅里叶变换表达式：为求这与之间的关系，利用函数的抽样性质，我们构造一连续时间函数：求的傅里叶变换除了利用函数的性质(变换为)外，还可以用泊松求和方程：图3：信号分量1时域、频域表达是抽样角频率，当t=0时，令,即可得连续时间傅里叶变换的另一表达式：即的傅里叶变换通过平移和幅度缩放各得到个频谱分量之和，是周期函数。得到和频谱分量示意图如下(编程见lbq4.m)：图4：和频谱图5：T取不同值时Gp(jw)频谱图由此知函数经采样周期为T的采样和函数变换：后，其频谱是平移后的叠加，即：。幅度变为1/T。为了能从变换后的值复原原信号，则要求,其中是的最大频率分量。这便是奈奎斯特采样定律。3.22信号复原：离散时间信号傅里叶变换与原连续时间信号存在着上述关系，FFT是DTFT在频域上的离散化。要得到连续时间信号的傅里叶变换，离散时间信号傅里叶变换幅度要乘以T，同时频率关系满足对于本实验的两信号分量，由奈奎斯特律知信号分量1的取采样频率FT1=5GHz，采样周期T1=0.2ns;信号分量2取采样频率FT2=12GHz,采样周期为T2=0.833ns。3.3传输函数与滤波器结构：系统的特性可由输入与冲击响应的卷积、输入函数傅里叶变换与冲击响应的傅里叶变换乘积或差分方程表征。用差分方程描述的系统，输出和输入满足关系：对两边同时进行Z变换，由Z变换延时性质y[n-k]z-kY[z]（其中y[n]z-kY[z]）其传输函数表示为：这样描述的系统可以很好的描述IIR系统。对于采用这样的传输函数描述的系统，其滤波器结构可由两部滤波器级联实现见如图6。对于分子部分传输函数：对于分母部分传输函数：其时域表达为：由此可得传输函数的结构。以本实验中所构建的一4阶低通滤波器为例画出其滤波器结构如下（采用直接IIt型）：H1[Z]H2[Z]X[Z]W[Z]Y[Z]图6：差分方程描述系统传输函数实现ZZ3.4滤波器设计：3.41指标设计：实验中采用巴特沃斯滤波器，滤波器类型分别是低通和高通滤波器。对于高通滤波器，其相关指标转换成基本低通滤波器指标，再通过变换将低通变成高通。指标设定如下信号分量1分量2滤波器类型低通巴特沃斯高通巴特沃斯通带边界频率fp3GHz5GHz阻带边界频率fs4.8Ghz3GHz峰值通带波纹pa1dB0.5dB阻带最小衰减pb15dB30dB采样频率Fs5GHz12GHz3.42参数计算与转换：巴特沃斯模拟低通滤波器传输函数表达式为：N是阶数，是截止频率。下面求低通滤波器的N和频率归一化：p0⊕⊕⊕⊕z-1z-1z-1z-1x[n]y[n]-d1p4p3p2p1-d2-d3-d4图7:4阶滤波器结构（采用直接IIt型）表2：滤波器设计指标转换成模拟指标：最小通带幅度和最大阻带波纹：过度比与选择性参数：滤波器阶数：必须是整数，向上取整截止频率：将N和、的值带入传输函数表达式可得两等式（当然不能同时满足），解出两个截止频率，第一个方程满足通带边界频率的要求而不满足阻带边界频率要求，第二个方程满足阻带边界频率要求而不满足通带边界频率需求。结合实际取舍，通常取后者。本实验取满足阻带边界频率要求的。对于高通滤波器，通带边界频率为的模拟低通原型传输函数用频谱变换ˆˆppss，变换成通带边界频率为ˆp的高通滤波器传输函数ˆ()hpHs。从而转换成一模拟滤波器设计（为方便计算，一般让等于一个单位的数）。ˆˆˆ()()|ppHPLPSsHSHS3.43IIR滤波器传输函数实现：通过变换来实现将模拟滤波器传输函数自变量虚轴映射成单位圆上值，其映射关系为111(1z)zs传输函数为：111/(1z)()()|DLPSzHzHS实际上，用MATLAB的内嵌M文件可以很方便的求取阶数N和截止频率,由于N阶低通巴特沃斯滤波器传输函数已经制成表格（的值是1时的），只需做一次代换可求出所需要的模拟低通传输函数；或用MATLAB内嵌M文件直接求出分子分母系数，得其表达式。部分函数如下：[z,p,k]=buttap(N)[num,den]=butter(N,Wn,'s')[num,den]=butter(N,Wn,’type’,'s')[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')3.44结果（编程见M文件lbq5.m和lbq6.m）：对于上述参数，得低通滤波器传输函数系数：阶数为N=4，截止频率w=4.1802分子系数num=0000305.3439分母系数den=1.000010.923459.6603190.8764305.3439高通滤波器传输函数系数：阶数N=5截止频率w=3.7546分子系数num=1.00000.00000.0000-0.00000.0000-0.0000分母系数den=1.0e+003*