实变函数综合练习题

1实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（A）（A）(\)ABBAB（B）(\)ABBA（C）(\)BAAA（D）(\)BAA2、若nER是开集，则（B）（A）EE（B）E的内部E（C）EE（D）EE3、设P是康托集，则（C）（A）P是可数集（B）P是开集（C）0mP（D）1mP4、设E是1R中的可测集，()x是E上的简单函数，则（D）（A）()x是E上的连续函数（B）()x是E上的单调函数（C）()x在E上一定不L可积（D）()x是E上的可测函数5、设E是nR中的可测集，()fx为E上的可测函数，若()d0Efxx，则（A）（A）在E上，()fz不一定恒为零（B）在E上，()0fz（C）在E上，()0fz（D）在E上，()0fz二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设E是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）（A）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每一点都是聚点（D）0mE2、若1ER至少有一个内点，则（B、D）（A）*mE可以等于零（B）*0mE（C）E可能是可数集（D）E是不可数集3、设[,]Eab是可测集，则E的特征函数()EXx是（A、B、C）（A）[,]ab上的简单函数（B）[,]ab上的可测函数（C）E上的连续函数（D）[,]ab上的连续函数4、设()fx在可测集E上L可积，则（B、D）2（A）()fz和()fz有且仅有一个在E上L可积（B）()fz和()fz都在E上L可积（C）()fz在E上不一定L可积（D）()fz在E上一定L可积5、设()fz是[,]ab的单调函数，则（A、C、D）（A）()fz是[,]ab的有界变差函数（B）()fz是[,]ab的绝对连续函数（C）()fz在[,]ab上几乎处处连续（D）()fz在[,]ab上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X为全集，A，B为X的两个子集，则\ABCAB。2、设nER，如果E满足EE，则E是闭集。3、若开区间(,)是直线上开集G的一个构成区间，则(,)满足(,)G、,GG。4、设A是无限集，则A的基数Aa（其中a表示可数基数）。5、设1E，2E为可测集，2mE，则12(\)mEE12mEmE。6、设()fx是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有[()]Exfxa是可测集，则称()fx是可测集E上的可测函数。7、设0x是1ER的内点，则*mE0。8、设函数列{()}nfx为可测集E上的可测函数列，且()()()nfxfxxE，则由黎斯定理可得，存在{()}nfx的子列{()}knfx，使得()knfx..ae()()fxxE。9、设()fx是E上的可测函数，则()fx在E上的L积分不一定存在，且()fx在E上不一定L可积。10、若()fx是[,]ab上的绝对连续函数，则()fx一定是[,]ab上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。（×）2、任何无限集均含有一个可数子集。（√）33、设E是可测集，则一定存在G型集G，使得EG，且(\)0mGE。（√）4、设E是零测集，()fz是E上的实函数，则()fx不一定是E上的可测函数。（×）5、设()fz是可测集E上的非负可测函数，则()fx必在E上L可积。（×）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如取1R上一列开集为11(1,1)nn，1,2,3,n而111(1,1)[1,1]nnn是闭集，不是开集。2、可测集E上的可测函数与简单函数有何关系？答：①简单函数是可测函数；②可测函数不一定是简单函数；③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、[,]ab上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：①单调函数是有界变差函数；②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、计算题1、设1[0,1]()0[0,1]xQDxxQ，其中Q是有理数集，求[0,1]()dDxx。解：因为{[0,1]}0mQ，所以()0..Dxae于[0,1]，于是[0,1][0,1]()00Dxdxdx2、求0ln()limcosdxnxnexxn。解：因为ln()ln(11)1)cos(1)xxxxxnxnxnexeexennn而0(1)xxedx所以，由L控制收敛定理000ln()ln()limcosdlimcosd0d0xxnnxnxnexxexxxnn七、证明题1、证明集合等式：()\(\)(\)ABCACBC4证明：（方法1）对任意()\xABC，有()xAB且xC，即xA或xB且xC所以\xAC或\xBC，即(\)(\)xACBC。反之，对任意(\)(\)xACBC，有\xAC或\xBC，即xA或xB且xC，所以()xAB且xC，即()\xABC，综上所述，()\(\)(\)ABCACBC。（方法2）()\()()()(\)(\)cccABCABCACBCACBC。2、设0E是[0,1]中的有理点全体，则0E是可测集且00mE。证明：因为0E是可数集，则012{,,,,}nErrr对任意0，取开区间11(,)22nnnnrr，1,2,n，显然它们把0E覆盖住。于是*012nnmE。让0得，*00mE，从而0E是可测集且00mE。3、证明：1R上的实值连续函数()fx必为1R上的可测函数。证明：因为对于任意实数a，由连续函数的局部保号性易知，1[()]Rxfxa是开集，从而1[()]Rxfxa是可测集。所以()fx必为1R上的可测函数。4、设()fx是可测集1ER上的L可积函数，{}nE为E的一列可测子集，mE，如果limnnmEmE，则lim()d()dnnEEfxxfxx。证明：因为mE且nEE，所以(\)nnnmEmEEmEmE从而由题设lim(\)lim0nnnnmEEmEmEmEmE又()fx在1ER上的L可积，且(\)()d()d()d()dnnnnEEEEEEfxxfxxfxxfxx\\()d()d()d()dnnnnEEEEEEfxxfxxfxxfxx所以由积分的绝对连续性得\lim(()d()d)lim()d0nnnnEEEEfxxfxxfxx5即lim()d()dnnEEfxxfxx。5、设()fx是可测集1ER上的L可积函数，{}nE为E中的一列递增可测子集，1lim()d()dnnnnEEfxxfxx。证明：记()()()nnEfxfxx，其中1,()0,nnEnxExxE显然在1nnE上，()()()()nnEfxfxxfx，()()nfxfx且1()()nnnnEEfxdxfxdx于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。《实变函数》综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（A）（A）()()()ABCABAC（B）(\)ABA（C）(\)BAA（D）(\)BAA2、若nER是闭集，则（B）（A）E的内部E（B）EE（C）EE（D）EE3、设Q是有理数集，则（C）（A）0mQ（B）Q是闭集（C）0mQ（D）Q是不可数集4、设()fx为1R上的连续函数，a为任意实数，则（D）（A）1[()]Rxfxa是开集（B）1[()]Rxfxa是开集（C）1[()]Rxfxa是闭集（D）1[()]Rxfxa是开集5、设E是nR中的可测集，()fx，()gx都是E上的可测函数，若6()()d0Efxgxx，则（A）（A）()()..fzgxae于E（B）在E上，()()fzgx（C）在E上，()()fzgx（D）在E上，()()fzgx二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设E是[0,1]中的有理点全体，则（C、D）（A）E是闭集（B）E中的每一点都是内点（C）E是可数集（D）0mE2、若1ER的外测度为零，则（B、D）（A）E一定是可数集（B）E一定是可测集（C）E不一定是可数集（D）0mE3、设()nmEER，函数列{()}nfx为E上几乎处处有限的可测函数列，()fx为E上几乎处处有限的可测函数，若()()()nfxfxxE，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）()dEfxx存在（B）()fx在E上L可积（C）..()()()aenfxfxxE（D）lim()d()dnnEEfxxfxx4、若()fx在可测集E上有L积分值，则（A、C）（A）()fz和()fz中至少有一个在E上L可积（B）()fz和()fz都在E上L可积（C）()fz在E上也有L积分值（D）()fz在E上一定L可积5、设()fz是[,]ab的绝对连续函数，则（A、B、C）（A）()fz是[,]ab上的连续函数（B）()fz是[,]ab上的一致连续函数（C）()fz是[,]ab上的有界变差函数（D）()fz在[,]ab上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设A，B是两个集合，则AB(\)BAA2、设nER，如果E满足intEE，则E是开集。73、设G为直线上的开集，若开区间(,)满足(,)G和,GG，则(,)必为G的构成区间。4、设A是偶数集，则则A的基数Aa（其中a表示可数基数）。5、设1E，2E为可数集，21EE且2mE，则12(\)mEE12mEmE。6、设()fx是可测集E上的可测函数，则对任意实数a，b（ab），都有[()]Exafxb是可测集。7、若1ER是可数集，则*mE0。8、设函数列{()}nfx为可测集E上的可测函数列，()fx是E上的可测函数，如果..()()()aenfxfxxE，则()()()nfxfxxE不一定成立。9、设()fx是E上的非负可测函数，则()fx在E上的L积分的值一定存在。10、若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）。四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。（×）2、任何无限集均都是可数集。（×）3、设E是可测集，则一定存在F型集F，使得FE，且(\)0mEF。（√）4、设E是可测集，则()fz是E上的可测函数对任意实数a，都有[()]Exfxa是可测集。（√）5、设()fz是可测集E上的可测函数，则()dEfxx一定存在。（×）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如取1R上一列闭集为11[1,1]nn，1,2,3,n而111[1,1](1,1)nnn是开集，不是闭集。2、可测集E上的可测函数与连续函数有何关系？答：①连续函数是可测函数；②可测函数不一定连续；③可测函数在E上是“基本上”连续的。3、[,]ab上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：①绝对连续函数是有界变差函数；8②有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设23()[0,1]\xxPfxxxP，其中P是康托集，求[0,1]()dfxx。解：因为0mP，所以3()..fxxae于[0,1]，于是3[0,1][0,1]()ddfxxxx再由L积分与R积分的关系得133410[0,1][0,1]