计数原理

第三章计数原理第一节：加法原理（一）【教学内容】：认识加法原理【教学目的】：初步认识加法原理，并运用加法原理解决简单的实际问题。【教学重难点】：理解加法原理【例题精讲】：例1从桂林到长沙，可乘火车也可乘汽车，还可乘飞机。如果某天中，从桂林去长沙有5趟火车，4班汽车和3班飞机，那么这一天中由桂林去长沙可以有多少种不同走法？分析一天中从桂林去长沙有乘火车、乘汽车和乘飞机三类不同形式。第一类办法乘火车有5种不同走法，第二类办法乘汽车4班中任选其一有4种走法，第三类乘飞机有3种不同走法，不管采取哪类形式中任何一种方法都可以到达长沙。一天中从桂林到长沙共有5＋4＋3=12种不同走法，解决上述问题运用了加法原理。解：5＋4＋3=12（种）答：一天中由桂林去长沙可以有12种不同走法。加法原理：完成某一件事可以有几类方法，第一类方法中有m种不同方法；第二类方法有m种不同方法、、、、、、在第N类方法中有m种不同方法，那么完成这件事共有N=m＋m＋、、、、、、＋m种不同的方法。【巩固练习】：1、学校开展读书活动，小明要从5本故事书、2本文艺书、7本科技书中任意选取一本书，共有多少种不同的选法？小结：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。例2：某职业中学有3个专业，农机专业3个班，家庭经营专业2个班，畜牧专业4个班，现在派一个班参加公益劳动，有几种不同的派法？分析选派一个班参加公益劳动有三类办法：第一类办法是从农机专业3个班中任选一个班，有3种办法；第二类办法是从家庭经营专业2个班中选派一个班有2种办法；第三类办法是从畜牧专业4个班中任选一个班，有4种办法。根据加法原理将这三类方法数相加。3＋2＋4=9（种）答：有9种不同的派法。【巩固练习】：1、从武汉到南京去有2班火车、3班汽车、2班飞机、1班轮船，请问：从武汉到南京去一共有多少种不同走法？2、小明到图书馆去借书，他喜欢的书有：3种故事书、4种科技书、5种文艺书，他只能借其中的一种，请问他有多少种不同的选择方法？3、甲、乙、丙三个班，甲班42人，乙班50人，丙班40人，如果从三个班中共同选出一名同学在学校的晨会上发言，有多少种不同选法？（参考答案：1、8种2、12种3、132种）第二节：加法原理（二）【教学内容】：运用加法原理解决实际问题【教学目的】：在掌握加法原理的基础上，运用所学知识解决一些实际的问题【教学重难点】：1、找加法原理的分类标准2、对所学知识的综合运用【例题精讲】：例1：旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色、黄色的信号旗各一面，如果用信号旗表示信号最多可以表示多少种信号?分析根据挂信号旗的面数分为两类：第一类挂一面信号旗有：红色、蓝色、黄色，共3种；第二类挂两面信号旗有红蓝、红黄、蓝红、蓝黄、黄红、黄蓝共3种，所以一共有3＋3=6种不同的挂法。3＋3=6（种）答：用这些信号旗最多可以表示6种信号。【巩固练习】：1、用2、4、8这三个数字最多可以写出多少个没有重复数字的数？例2：在下图中从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？分析题目要求从A点到B点，所以只能从左和从右两个方向走才能保证线路最短。例如图中D点，不是经过左边的E点就是下边的F点。如果到E点有a种走法（a=6），到F点有b种走法（b=4），根据加法原理，到D点就有（a＋b种走法（此处6＋4=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数，最后得到共有35条不同的路线。【巩固练习】：1、中美小学四、五、六年级共订300本少儿读本，每个年级至少订99本，问一共有多少种不同订法？2、求一个三位数，使它各个数位上的数字之和都等于21。像这样的三位数共有多少个？3、在下图中从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？4、如图，一只小虫从A点出发沿着线段爬到D点，要求任何点和线段都不重复经过。问：这只虫共有多少种不同走法？ABCD参考答案：1、10种2、28个3、126条4、9种第三节乘法原理（一）【教学内容】：认识乘法原理【教学目的】：初步认识乘法原理，并运用乘法原理解决简单的实际问题【教学重难点】：理解乘法原理【例题精讲】：例1：从张村到王村有两条道路，从王村到李村有3条道路。从张村经王村到李村，共有多少种不同的走法？张村王村李村分析从张村经王村到李村可以分两个步骤完成：第一步从张村到王村，有2种走法；第二步从王村到李村有3种走法，所以从张村经王村到李村共有2×3=6种走法，解决此题运用了乘法原理。2×3=6（种）答：共有6种不同的走法。乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同方法……，做第n步有m种不同方法。完成这件事共有共有N=m×m×……×m种不同的方法。【巩固练习】：1、马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同的搭配？2、书架上有15本杂志书，有12本连环画，每次只能从书架上各挑选一本书，一共有多少种不同的选发？3、如图从甲村去乙村有3条道路，从乙村到丙村有2条道路，从丙村到丁村有4条道路。小红要从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？甲村乙村丙村丁村例2：用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析组成一个三位数要分成三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选择法；第二步确定十位上的数字，因为数字不可以重复除去百位上所用一个数字后还剩5中选择法；第三步确定个位上的数字，除去百位、十位所用两个数字还剩4种不同选择方法。根据乘法原理，可以组成没有重复数字的三位数有5×5×4=100（个）。解5×5×4=100（个）。答：可以组成100个没有重复数字的三位数。小结：从乘法原理可以看出，将完成一件任务分成几个步骤做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。【巩固练习】：1、用0~9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？2、由数字1、2、3、4、5、6共可以组成多少个四位数（各位上的数字可以重复）？3、由数字1、2、3、4、5、6共可以组成多少个没有重复数字的四位奇数（各位上的数字可以重复）？第四节乘法原理（二）【教学内容】：运用乘法原理解决实际问题【教学目的】：在掌握乘法原理的基础上，运用所学知识解决一些实际的问题【教学重难点】：1、确定乘法原理分步步骤2、对所学知识的综合运用【例题精讲】：例1：从南京到上海的某次快车中途停靠6个大站，铁路局要为这次快车准备几种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？分析只要确定起点站和终点站，就能确定车票，所以是分步考虑，采用乘法原理：起点有8种可能，终点有7种可能，所以需要8×7=56（种）车票；而每2个车站的票价相同，如“南京——上海”与“上海——南京”虽然车票不同，但票价相同，所以只用56÷2=28（种）票价。8×7=56（种）56÷2=28（种）答：这次快车准备56种不同的车票，这些车票中有28种不同的票价？【巩固练习】：1、某铁路线上共有12个火车站（包括起点和终点）（1）要准备多少种不同的车票？（2）票价不同的火车票共有多少种？例2：《品德与社会》课上，老师给每位同学发了一张简易地图，地图上有A、B、C、D四个国家（如图）。老师要求同学们用红、黄、蓝、绿四种颜料给地图染色，且相邻国家染色的颜色不同。请问：共有多少种不同的染色方法？ABCD分析任意染色很难找到所有不同的染色方法。要求所有不同的染色方法，我们可以分四个步骤进行：第一步给A国家染色，有4种不同的方法；第二步给B国家染色，由于它与A国家相邻，所以只能有3种不同的方法；第三步给C国家染色，由于它与A、B两个国家相邻，所以只能有2种不同的方法；第四步给D国家染色，由于与B、C两个国家相邻，所以也有2种不同的方法。根据乘法原理，就可以求出有多少种不同的染色方法。4×3×2×2=48（种）答：共有48种不同的染色方法。【巩固练习】：1、地图上有A、B、C、D、E五个国家（如图）。要用红、黄、蓝、绿、白五种颜料给地图染色，且相邻国家染色的颜色不同。请问：共有多少种不同的染色方法？ADBEC第五节综合运用（一）【教学内容】：加法原理、乘法原理综合运用【教学目的】：综合运用加法原理、乘法原理知识，解决一些实际的问题【教学重难点】：1、对比区分加法原理和乘法原理2、对所学知识的综合运用【例题精讲】：例1、图书室书架上存有故事书2本、儿童画报3本，作文书4本。⑴、从这些书中任选一本共有多少种不同的选择方法？⑵、从这些书中各选一本共有多少种不同的选择方法？⑶、从这些书中任选两本相同的书共有多少种不同的选择方法？分析⑴要求任选一本书，可以分类选择。第一类从故事书中选，有2种选法；第二类从儿童画报中选，有3种选法；第三类从作文书中选，有4种选法。运用加法原理知道一共有2＋3＋4=9（种）。⑵从这些书中各选一本一共就是选择3本。第一本（步）选择故事书，有2种选择方法；第二本（步）选择儿童画报，有3种选择方法；第三本（步）选择作文书，有4种选择方法。运用乘法原理知道一共有2×3×4=24种不同选择方法。⑶从这些书中任选两本相同的书，可以分类选择。第一类选择两本相同的故事书，有1种选择方法；第二类选择两本相同的儿童画报，有3×2=6种选择方法；第三类选择两本相同的作文书，有4×3=12种选择方法，一共就有1＋6＋12=19种不同的选择方法。解2＋3＋4=9（种）2×3×4=24（种）1＋3×2＋4×3=19（种）答：从这些书中任选一本共有9种不同的选择方法。各选一本共有24种不同的选择方法。任选两本相同的书共有19种不同的选择方法。【巩固练习】：1、一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。问：①从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？2、从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走。问从甲地经过乙地或丁地到丙地共有多少种不同的走法？甲乙丙丁第六节综合运用（二）【教学内容】：加法原理、乘法原理综合运用【教学目的】：综合运用加法原理、乘法原理知识，解决一些实际的问题【教学重难点】：1、对比区分加法原理和乘法原理2、对所学知识的综合运用【例题精讲】：例：从1到300的的自然书中，完全不含有数字3的数有多少个?分析符合要求的自然数可以分为三类：⑴、一位数：有1、2、4、5、6、7、8、9共8个；⑵、两位数：在十位上出现的数字有1、2、4、5、6、7、8、9共8种情况，在个位上出现数字有0、1、2、4、5、6、7、8、9共9种情况，则两位数有8×9=72（个）；⑶三位数：百位上出现的数字有1、2两种况，在十位上与个位上出现的数字各有0、1、2、4、5、6、7、8、9九种情况，则三位数有2×9×9=162（个）。由加法原理从1到300的自然数中完全不含有数字3的有8＋72＋162=242（个）。解：8＋8×9＋2×9×9=162（个）答：符合要求的数字有162个。小结：分类与分步要恰当，必须包括所有的情况，又不要交错在一起产生重复，要依据统一标准划分。【巩固练习】：1、从1到400的的自然数中，完全不含有数字4的数有多少个?2、从1到400的的自然数中，含有数字4的数有多少个?综合练习1．有6个队进行篮球比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛几场？2．有四张卡片，上面分别写有1、2、4、0四个数字，从中任意抽出三张卡片可组成多少个不同的三位数？3．小红、小华、小刚三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人参加一项，报名的情况有多少种？4．某市的电话号码有7个数字，其中第一个数字不为0，也不为1，这个城市数字不重复的电话号码共可以有多少个？5．下图中“我喜欢数学”共有多少种不同的读法？我喜喜欢欢欢数数数数学学学学学6．如图，（1）A—B—D有几种不同的路线？（A点不重