导数的概念及其计算

§13.1导数的概念及其运算第十三章导数基础知识自主学习1．导数的概念及意义（1）导数的定义：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量Δx时，则函数y=f(x)相应地有增量Δy=.如果Δx→0时，Δy与Δx的比ΔyΔx(也叫函数的平均变化率)有极限(即ΔyΔx无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限值叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作y′|0xx,即f′(x0)＝.f(x0+Δx)-f(x0)xxfxxfx)()(lim000(2)导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的.(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，就是物体的运动方程为s＝s(t)在时刻t0时的速度v.即v＝s′(t0)．斜率瞬时2．导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f′(x),从而构成了一个新的函数f′(x).称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的，简称导数,也可记作,即f′(x)=y′=y′导函数.)()(limlim00xxfxxfxyxx3．求导数的方法（1）常用的导数公式C′＝(C为常数)；(xn)′＝(n∈)；（2）导数的运算法则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x);[c·f′(x)]′=cf′(x)(c为常数)．0mxn－1N*[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1．已知函数)(xf＝13－8x＋2x2，且)(0'xf＝4，则0x的值为________.解析)('xf＝－8＋22x，)(0'xf＝－8＋220x＝4，∴0x＝32.322．曲线y＝2x2在点(－1,2)处的切线方程为____________．4x＋y＋2=0解析∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝－1＝－4.故在点(－1,2)处的切线方程为y－2＝－4(x＋1)，化简得4x＋y＋2＝0.3．已知)(xf＝x2＋3x'f(2)，则'f(2)＝________.－2解析由题意得'f(x)＝2x＋3'f(2)，∴'f(2)＝2×2＋3'f(2)，∴'f(2)＝－2.4．已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．4B．3C．2D.12C解析y＝18x2，得y′＝14x＝12，∴x＝2.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0B解析由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(x)为奇函数．若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2点评注意到f(x)的导函数是一个奇函数．f′(－1)＝－f′(1)．题型分类深度剖析题型一利用导数的定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数y＝2x(x2－4)的导数．思维启迪：紧扣定义ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx进行求解．解y＝2x(x2－4)＝2x3－8x.则Δy＝[2(x＋Δx)3－8(x＋Δx)]－(2x3－8x)＝(6x2－8)Δx＋6x(Δx)2＋2(Δx)3∴ΔyΔx＝(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)20limxy[(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)2]＝6x2－8.探究提高由导数的定义可知，求函数y＝f(x)的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx；（3）取极限，得导数lim0xyΔyΔx.变式训练1过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P处切线的斜率．解∵Δy＝f(1＋x)－f(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2＋(x)3，∴割线PQ的斜率为xy＝2333xxxx＝3＋3x＋(x)2.∴当x＝0.1时，割线PQ的斜率为xy＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点P(1,1)处切线的斜率为lim0xxy＝lim0x[3＋3x＋(x)2]＝3.题型二求函数的导数例2求下列函数的导数．(1)y＝(2x3－1)(3x2＋x)；(2)y＝3(2x＋1)2－4x.思维启迪：解析式无法直接用公式求导数，展开再求导数．解(1)∵y＝6x5＋2x4－3x2－x，∴y′＝(6x5＋2x4－3x2－x)′＝30x4＋8x3－6x－1.(2)∵y＝3(4x2＋4x＋1)－4x＝12x2＋8x＋3，∴y′＝(12x2＋8x＋3)′＝24x＋8.探究提高在求导过程中，要注意符号的变化．变式训练2求下列函数的导数．(1)y＝x2(x＋1)(x＋2)．(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解(1)∵y＝x2(x2＋3x＋2)＝x4＋3x3＋2x2，∴y′＝4x3＋9x2＋4x.(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.题型三导数的几何意义例3已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．思维启迪：函数y＝ax2＋bx＋c在点Q(2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q(2，－1)、点P(1,1)都在抛物线上．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.探究提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练3求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①②得x0＝32，k＝y0x0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.综上，所求曲线的切线方程为y＝2x或y＝－14x.点评“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．易错警示18．分不清“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的区别致误试题：(12分)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．审题视角(1)曲线在(2,4)处的切线，即切点为(2,4)；(2)曲线过点(2,4)的切线，(2,4)不一定是切点，所以要先设切点．规范解答解(1)当x＝3时，y＝313，即点P3，313，∵y′＝x2，∴在点P3，313处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝9.[2分]∴曲线在点P3，313处的切线方程为y－313＝9(x－3)，即27x－3y－50＝0.[4分](2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，[6分]则切线的斜率0|xxyk＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20x－23x30＋43.[8分]∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，[10分]即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.[12分]批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高方法与技巧1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．返回